Çift kutupsal koordinatlar

Bipolar koordinat sistemi

Bipolar koordinatlar bir iki-boyutluortogonal koordinat sistemidir. Burada bipolar koordinatların ortak tanımlanan tipleri ikidir. İlk temeli Apollonian çemberidir. sabitin eğriliği σ ve τ bu çemberler arasındaki dik açılardır.Koordinatların ikiodak F₁ ve F₂dir,genellikle tespit edilen yer sırasıyla (−a, 0) ve (a, 0)dir,biri Kartezyen koordinat sistem'nin x-eksenidir . İkinci sistem iki-merkezli bipolar koordinatlardır. Burada ayrıca bir üçüncü koordinat sistemi iki kutup dayalı (çift açısal koordinatlar)dır.

"Bipolar" ifadesi bazen iki tekil nokta (odakları)ya sahip olan diğer eğrileri tanımlamak için kullanılır elips ler, hiperbol ler ve Cassini oval ler gibi. Ancak bipolar koordinatlarda bu ifade burada açıklanan koordinatlar için ayrılmış, ve bu gibi eğrileri ile eliptik koordinatlar gibi ilişkili koordinatları tanımlamak için asla kullanılmazlar.

Bipolar koordinatları geometrik yorumu. Bu açı σ iki odak ve P noktası tarafından, tanımlanan ve burada τ uzunluk kesrinin logaritmasının odaklarıdır.sabit σ ve τnın ilgili daireleri sırasıyla kırmızı ve mavi ile gösterilmiştir, onlara dik olan dik açı(kırmızı kutu)ya karşı gelir;

Tanım

Bipolar koordinatların en yaygın tanımı(σ, τ) dır

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Buradaσ-bir noktanın koordinatları P eş açıF₁ P F₂ veτ-eş koordinatlar uzunluğun kesrinin doğal logaritması d₁ ve d₂ odakları

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

(şunu hatırlaF₁ ve F₂ (−a, 0)yerleşiktir ve (a, 0)) Eşdeğeri

$x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)$

σ ve τsabitlerinin eğrilikleri

σ sabitinin eğriliğine eş merkezli olmayan daireler karşılık gelmektedir.

$x^{2}+\left(y-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

iki odak kesişiyor. σ-sabitinin merkezleridir çember y-eksenine yatar. Pozitif Çemberleriσ yukarıdax-ekseninin merkezidir, negatif olanlar ise eksen altında yatmak σ.. büyüklük |σ| artıcıdır, daire yarıçapı azalır ve merkezi orijinine yaklaştığında(0, 0), ki ulaşıldığında |σ| = π/2, maksimum değerdir.

$\tau$ sabitinin eğriliği are farklı yarıçapları olmayan kesişen dairelerdir

$y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

Odaklar çevreler ama yine eş değildir.τ-sabitinin merkezleri x-eksenine yatan çemberlerdedir.Bu çemberler pozitif çemberler τ (x > 0) düzleminin sağ tarafına yatıktır, τ çemberi negatif ve (x < 0) düzlemininin sol tarafına yatıktır. The τ = 0 eğrisine tekabül y-ekseni(x = 0)dir. τ büyüklüğünün artışı, odak merkezleri yaklaştığında daireler azalır.

Ölçek faktörleri

Ölçek faktörleri bipolar koordinatlar için (σ, τ) eştir.

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

Böylece, sonsuz alanda elemanı eşittir.

$dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau$

ve verilen Laplasyenşudur.

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)$

Bunun gibi diğer diferansiyel operatörler$\nabla \cdot \mathbf {F}$ ve $\nabla \times \mathbf {F}$ ölçek çarpanlarını tarafından yerine(σ, τ)koordinatlar ile ifade edilebilir.ortogonal koordinatlar içinde genel formülleri bulunur.

Uygulamalar

Bipolar koordinatların klasik uygulamaları kısmi diferansiyel denklemler çözümleridir, e.g., Laplace denklemi veya Helmholtz denklemi,burada bipolar koordinatlar bir Değişkenlerin ayrılmasına izin verir. Tipik bir örnek,olarak the iki paralel silindirik iletkeni çevreleyen elektrik alanını verebiliriz .

3-boyuta uzatma

Bipolar üç boyutlu Ortogonal koordinatlarn birçok kümesi için temel teşkil eden koordinatlarıdır.Bipolar silindirik koordinatlarda z yönüne izdüşümü ile üretilir. çiftküresel koordinatları bipolar $x$ ekseni, yani odaklar bağlayan eksen, toroidal koordinatlar bipolar koordinatlar döndürülerek üretilen koordinatlardır yukardaki koordinatları döndürerek üretilmektedir.y-ekseni yani odakları ayıran eksendir.

Kaynakça

• H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50
• Şablon:Springer
• Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186–190, 1967.
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.