Çift kutupsal koordinatlar sayfasının kaynağını görüntüle

{{Ayrıca bakınız|two-center bipolar coordinates}}
[[Dosya:Iso1.svg||thumb|sağ|350px|Bipolar koordinat sistemi]]

'''Bipolar koordinatlar''' bir iki-boyutlu[[orthogonal coordinates|ortogonal]] [[koordinat sistemi]]dir. Burada bipolar koordinatların ortak tanımlanan tipleri ikidir.<ref name=bip>[http://bbs.sachina.pku.edu.cn/Stat/Math_World/math/b/b233.htm Eric W. Weisstein, '''Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM''', ''Bipolar Coordinates'', CD-ROM edition 1.0, May 20, 1999<!-- Bot generated title -->]</ref> İlk temeli  [[Apollonian çemberi]]dir.   sabitin eğriliği ''σ'' ve  ''τ'' bu çemberler arasındaki dik açılardır.Koordinatların iki[[Focus (geometry)|odak]] ''F''<sub>1</sub> ve ''F''<sub>2</sub>dir,genellikle tespit edilen yer sırasıyla (−''a'',&nbsp;0) ve (''a'',&nbsp;0)dir,biri [[Kartezyen koordinat sistem]]'nin  ''x''-eksenidir .  İkinci  sistem [[iki-merkezli bipolar koordinatlar]]dır. Burada  ayrıca bir üçüncü koordinat sistemi iki kutup dayalı ([[çift açısal koordinatlar]])dır.

"Bipolar" ifadesi bazen iki tekil nokta (odakları)ya sahip olan diğer eğrileri tanımlamak için kullanılır [[elips]] ler, [[hiperbol]] ler ve [[Cassini oval]] ler gibi.
Ancak '' bipolar koordinatlarda'' bu ifade burada açıklanan koordinatlar için ayrılmış, ve  bu gibi eğrileri ile  [[eliptik koordinatlar]] gibi ilişkili koordinatları tanımlamak için asla  kullanılmazlar.
[[Dosya:Bipolar coordinates.png|thumb|sağ|350px|Bipolar koordinatları geometrik yorumu. Bu açı σ  iki odak ve '''P''' noktası tarafından, tanımlanan ve burada ''τ''  uzunluk kesrinin logaritmasının odaklarıdır.sabit ''σ'' ve ''τ''nın ilgili daireleri  sırasıyla kırmızı ve mavi ile gösterilmiştir, onlara dik olan dik açı(kırmızı kutu)ya karşı gelir;]]

== Tanım ==

Bipolar koordinatların en yaygın tanımı(''σ'',&nbsp;''τ'') dır

:<math>
x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}
</math>

:<math>
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}
</math>

Burada''σ''-bir noktanın koordinatları  ''P'' eş açı''F''<sub>1</sub>&nbsp;''P''&nbsp;''F''<sub>2</sub> ve''τ''-eş koordinatlar uzunluğun kesrinin [[doğal logaritma]]sı  ''d''<sub>1</sub> ve ''d''<sub>2</sub>  odakları
:<math>
\tau = \ln \frac{d_1}{d_2}
</math>

(şunu hatırla''F''<sub>1</sub> ve ''F''<sub>2</sub>  (−''a'',&nbsp;0)yerleşiktir ve (''a'',&nbsp;0)) Eşdeğeri
:<math>
x + i y = a i \cot\left( \frac{\sigma + i \tau}{2}\right)
</math><ref name="Polyanin"/><ref name="Happel"/>

==''σ'' ve ''τ''sabitlerinin eğrilikleri ==

[[Dosya:Bipolar sigma isosurfaces.png|sağ|280px]]

[[Dosya:Bipolar tau isosurfaces.png|sağ|280px]]

''σ'' sabitinin eğriliğine  eş merkezli olmayan daireler karşılık gelmektedir.

:<math>
x^2 +
\left( y - a \cot \sigma \right)^2 = \frac{a^{2}}{\sin^2 \sigma}
</math>

iki odak kesişiyor. ''σ''-sabitinin merkezleridir çember ''y''-eksenine yatar.  Pozitif Çemberleri''σ'' yukarıda''x''-ekseninin merkezidir, negatif olanlar ise'' eksen altında'' yatmak σ..  büyüklük |''σ''| artıcıdır, daire yarıçapı azalır ve merkezi orijinine yaklaştığında(0,&nbsp;0), ki ulaşıldığında |''σ''| = ''π''/2, maksimum değerdir.

<math>\tau</math> sabitinin eğriliği are farklı yarıçapları olmayan kesişen dairelerdir

:<math>
y^2 +
\left( x - a \coth \tau \right)^2 = \frac{a^2}{\sinh^2 \tau}
</math>

Odaklar çevreler ama yine eş değildir.''τ''-sabitinin merkezleri ''x''-eksenine yatan çemberlerdedir.Bu çemberler pozitif çemberler ''τ'' (''x''&nbsp;>&nbsp;0) düzleminin sağ tarafına yatıktır,  ''τ'' çemberi negatif ve (''x''&nbsp;<&nbsp;0) düzlemininin sol tarafına yatıktır.  The ''τ''&nbsp;=&nbsp;0 eğrisine tekabül ''y''-ekseni(''x''&nbsp;=&nbsp;0)dir.  ''τ'' büyüklüğünün artışı, odak merkezleri yaklaştığında daireler azalır.

== Ölçek faktörleri==
Ölçek faktörleri bipolar koordinatlar için (''σ'',&nbsp;''τ'') eştir.
:<math>
h_\sigma = h_\tau = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}
</math>

Böylece, sonsuz alanda elemanı eşittir.
:<math>
dA = \frac{a^2}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2} \, d\sigma\, d\tau
</math>

ve verilen [[Laplasyen]]şudur.
:<math>
\nabla^2 \Phi =
\frac{1}{a^2} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^2
\left( 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \sigma^2} + 
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \tau^2}
\right)
</math>

Bunun gibi diğer diferansiyel operatörler<math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> ve <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ölçek çarpanlarını tarafından yerine(''σ'',&nbsp;''τ'')koordinatlar ile ifade edilebilir.[[ortogonal koordinatlar]] içinde genel formülleri bulunur.

== Uygulamalar ==
Bipolar koordinatların klasik uygulamaları [[kısmi diferansiyel denklemler]] çözümleridir, e.g., [[Laplace denklemi]] veya [[Helmholtz denklemi]],burada bipolar koordinatlar bir [[separation of variables#pde|Değişkenlerin ayrılması]]na izin verir.  Tipik bir örnek,olarak the iki paralel silindirik iletkeni çevreleyen [[elektrik alanı]]nı verebiliriz .

== 3-boyuta uzatma ==
Bipolar üç boyutlu [[Ortogonal koordinatlar]]n birçok kümesi için temel teşkil eden koordinatlarıdır.[[Bipolar silindirik koordinatlar]]da ''z'' yönüne izdüşümü ile üretilir.
[[çiftküresel koordinatları]] bipolar <math>x</math> ekseni, yani odaklar bağlayan eksen, [[toroidal koordinatlar]] bipolar koordinatlar döndürülerek üretilen koordinatlardır yukardaki koordinatları döndürerek üretilmektedir.''y''-ekseni yani odakları ayıran eksendir.

== Kaynakça ==
{{Kaynakça|refs=
<ref name="Polyanin">{{Kitap kaynağı|soyadı=Polyanin|ad=Andrei Dmitrievich|başlık=Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists|url= http://books.google.co.uk/books?id=NLnwhsevQGEC&pg=PA476#v=onepage&q&f=false|yıl=2002|yayıncı=CRC Press|isbn=1-58488-299-9|sayfa=476}}
</ref>
<ref name="Happel">{{Kitap kaynağı|soyadı1=Happel|ad1=John|soyadı2=Brenner|ad2=Howard|başlık=Low Reynolds number hydrodynamics: with special applications to particulate media|url=http://books.google.co.uk/books?id=tWO2xJZbweIC&pg=PA497#v=onepage&q&f=false|seri=Mechanics of fluids and transport processes|cilt=1|yıl=1983|yayıncı=Springer|isbn=978-90-247-2877-0|sayfa=497}}
</ref>
}}
* H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", ''Duke Mathematical Journal'' 4 (1938), no. 1, 39–50
* {{springer|title=Bipolar coordinates|id=p/b016470}}
* Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in ''A Book of Curves''. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp.&nbsp;186–190, 1967.
* Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill.

{{Orthogonal coordinate systems}}

[[Kategori:Koordinat sistemleri]]