Varyans sayfasının kaynağını görüntüle

[[Olasılık kuramı]] ve [[istatistik]] bilim dallarında '''varyans''' bir [[rassal değişken]], bir [[olasılık dağılımı]] veya [[örneklem]] için [[istatistiksel yayılım]]ın, mümkün bütün değerlerin [[beklenen değer]] veya [[ortalama]]dan uzaklıklarının karelerinin ortalaması şeklinde bulunan bir ölçüdür. Ortalama bir dağılımın merkezsel konum noktasını bulmaya çalışırken, varyans değerlerin ne ölçekte veya ne derecede yaygın olduklarını tanımlamayı hedef alır. Varyans için [[ölçülme birimi]] orijinal değişkenin biriminin karesidir. Varyansın kare kökü [[standart sapma]] olarak adlandırılır; bunun ölçme birimi orijinal değişkenle aynı birimde olur ve bu nedenle daha kolayca yorumlanabilir.

Bir reel sayı halinde olan rassal değişkenin varyansı o rassal değişkenin ikinci [[merkezsel moment]]i ve aynı zamanda ikinci [[kümülant]]ı olur. Eğer varyans değeri var ise, ortalama değeri de vardır. Ama bunun aksi doğru değildir.

== Tanımlama ==

== Formüller ==
Eğer beklenen değer varsa, bir olasılık dağılımı için '''varyans''' dağılımın kendi ortalamasından sapmasının karesinin beklenen değeridir. Varyans kavramı dağılıma ait her bir değerin dağılımın ortalamasından ne kadar uzak olduğuyla ilgilidir. Varyans söz konusu sapmaların ortalama değerini ölçmektedir.
 
''X'' değişkeninin [[beklenen değer]]i '''μ = E(''X'')''' olmak üzere, varyans şöyle tanımlanır:
:<math>\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}((X-\mu)^2).</math>
Matematik notasyon kullanılarak bir rassal değişken ''X'' için varyans ya '''Var(X)''' ya '''<math>\scriptstyle\sigma_X^2</math>''' ya da daha basitce '''σ<sup>2</sup>''' olarak gösterilir..

Bu tanımlama, eğer beklenen değer varsa, hem [[ayrık rassal değişken]]ler hem [[sürekli rassal değişken]]ler hem de karışık değişkenler için genel olarak doğrudur. Bu tanımdan ve beklenen değerlerin doğrusal olma niteliğinden varyans için şu formül çıkartılabilir: 
:<math>{}\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}(X^2 - 2\,X\,\operatorname{E}(X) + (\operatorname{E}(X))^2),</math>
:<math>{}=\operatorname{E}(X^2) - 2(\operatorname{E}(X))^2 + (\operatorname{E}(X))^2,</math>
:<math>{}=\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.</math>

Buna '''hesaplama formülü''' adı da verilir. Bu formüle göre
:: '''Varyans, karelerin ortalaması eksi ortalamanın karesine eşittir.'''

Bir ''X'' [[ayrık rassal değişken]]i için, ''x'' değerleri olasılığa eşit olan [[olasılık kütle fonksiyonu]] bulunur; yani ''x''<sub>1</sub>↦''p''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>↦''p''<sub>''n''</sub>, olur. Bu halde [[aralıklı olasılık dağılımları]] için varyans şöyle de ifade edilebilir:

:<math>\operatorname{Var}(X)=\sigma^2 = \sum_{i=1}^n p_i {\left[x_i - \operatorname{E}(X)\right]}^2  = \sum_{i=1}^n p_i (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - {[\operatorname{E}(X)]}^2 </math>

Buna göre varyans ''X''in kendi ortalamasından [[sapma karesi]]nin beklenen değeri olur. Daha basit bir ifade ile
:: Aralıklı rassal değişken için, varyans her bir veri noktasının veri ortalamasından uzaklıklarının karelerinin ortalamasıdır; yani ''ortalama sapma kareleri''dir. 
  
Bir ''X'' [[sürekli rassal değişken]]i için beklenen değer E(X) operatörü yerine [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]] yani <math>f(x)</math>i kapsayan ve entegrasyon gereken formül konulursa, '''varyans''' şu şekilde ifade edilebilir:
:<math>\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty {\left[x-\operatorname{E}(X)\right]}^2 f(x)\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\mathrm{d}x - {[\operatorname{E}(X)]}^2</math>,

Ancak bazı olasılık dağılımları (örnegin [[Cauchy dağılımı]]) için beklenen değer anlamsızdır ve bu halde varyans da anlamlı değildir. Diğer bazı olasılık dağılımlarında ise beklenen değer bulunmakla beraber sonlu sayılı bir varyans bulunamaz, çünkü sürekli değişkenler için varyans değeri bulmak için gereken entegral yakınsama göstermez (örneğin [[Pareto dağılımı]]).

=== Örnekler ===
'''Varyans;''' verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması olduğuna göre,

2,2,3,5,3 serisinin varyansı şu şekilde bulunur;

1) Verilerin aritmetik ortalaması (A.O) hesaplanır.  
:<math>\operatorname A.O = \frac{(2+2+3+5+3)}{5}=3 </math>
2) 1. maddedeki ortalamadan,verilerin sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması alınarak varyans bulunur.
:<math>\operatorname \frac{[(2-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2+(3-3)^2]}{5}=\frac{6}{5} </math>

==== Örneğin 1: Tablo ile verilmiş bir aralıklı deneysel dağılım ====

Bu örnekte bir X rastlantı değişkeninin i=1,2,3 için aldığı değerler ve X in bu değerleri alması olasılığı bir tablo olarak verilmiştir. 
{| class="prettytable" 
|i||1||2||3
|-
|x<sub>i</sub>||-1||1||2
|-
|f(x<sub>i</sub>)||0,5||0,3||0,2
|}

[[Beklenen değer]] şöyle hesaplanır:
:<math>\operatorname{E}(X) = -1 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2</math>

Genel formülle, '''varyans''' şöyle bulunur:

:<math>\operatorname{Var}(X) = (-1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}5 +(1-0{,}2)^2 \cdot 0{,}3 +(2-0{,}2)^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}56</math>

Hesaplama formülu ile ise '''varyans''' şöyle hesaplanır ve aynı sonuç verir:
 
:<math>\operatorname{Var}(X) = (-1)^2 \cdot 0{,}5 +1^2 \cdot 0{,}3 +2^2 \cdot 0{,}2 - 0{,}2^2 = 1{,}56.</math>

==== Örneğin 2: Olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiş bir sürekli dağılım ====

Sürekli rassal değişken ''X'' için [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]] şöyle verilmiştir:

:<math> f(x) =
\begin{cases} 
\frac {1}{x} & \mbox{ eger } 1 \le x \le e \\
0 & \mbox{ digerleri }
\end{cases} 
</math>

'''Beklenen değer''' E(X) şöyle hesaplanır:

:<math>\operatorname{E}(X) = \int_1^e x \cdot \frac {1}{x} dx = e - 1</math>

'''Varyans''' değeri Var(X) şöyle bulunur:

:{|
  |<math>\operatorname{Var}(X)</math>
  |<math>= \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) dx - (\operatorname{E}(X))^2 = \int_1^e x^2 \cdot \frac {1}{x} dx - (e - 1)^2 </math>
  |-
  |
  |<math>\qquad = \left[ \frac{x^2}{2}\right] _1^e - (e - 1)^2 = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} -(e-1)^2 \approx 0{,}242</math>
  |}

== Anakütle varyansı ve örneklem varyansı ==

Teorik [[olasılık kuramı]] incelemeleri için varyans: 
<math>\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}(X^2)-\operatorname{E}(X)^2</math> 
formülü kullanılarak tanimlanir.

Sonlu bir anakütlenin varyansı aşağıdaki şekilde gösterilir:

<math>\sigma^2 = \sum_{i=1}^N
 \left(x_i - \overline{x} \right)^ 2 \, \Pr(x_i),</math>. Bu özel bir varyans tanımı olarak sonlu anakütlelere özgü bir tanımdır.

Örneklem varyansı ise şu şekilde tanımlanmaktadır:

<math>\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N
 \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2,</math>

Örneklem varyansı, anakütle varyansının yansız bir kestirmicisidir. İspatı ise aşağıdaki şekilde gösterilir:

:<math> \operatorname{E} \{ s^2 \}

= \operatorname{E} \left\{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n  \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}

</math>

::<math>

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n  \operatorname{E} \left\{ \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 \right\}

</math>

::<math>

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n  \operatorname{E} \left\{ \left( (x_i - \mu) - (\overline{x} - \mu) \right) ^ 2 \right\}

</math>

::<math>

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n  \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu)^2 \right\}

- 2 \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (\overline{x} - \mu) \right\}

+ \operatorname{E} \left\{ (\overline{x} - \mu)  ^ 2 \right\}

</math>

::<math>

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n  \sigma^2

- 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_i - \mu) (x_j - \mu) \right\} \right)

+ \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \operatorname{E} \left\{ (x_j - \mu) (x_k - \mu) \right\}

</math>

::<math>

= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n  \sigma^2

- \frac{2 \sigma^2}{n}

+ \frac{\sigma^2}{n}

</math>

::<math>
= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \frac{(n-1)\sigma^2}{n}
</math>

::<math>

= \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2

</math>

Bu özellikten faydalanılarak örneklem varyansının hesaplanması ile anakütle varyansına ilişkin kestirimlerde bulunulabilir. Bu durumda örneklemin rastsal bir örneklem olması önemlidir. Aksi takdirde örnekleme dayalı kestirimler sağlıklı sonuçlar vermeyecektir.

== Varyansın biçimsel özellikleri ==

Varyansın şu özellikleri bulunmaktadır:

=== Aralarında korelasyon bulunmayan değişkenlerin toplamı için varyans ===

Varyansin diğer istatistiksel yayılım ölçülerine kıyasla tercihli olarak kullanılmasına nedenlerden birisi, birbirleri arasinda [[korelasyon]] olmayan rassal değişkenlerin toplamının (veya farkının) varyansının, her bir rassal değişkenin tek başına olan varyanslarının toplamına (veya farkına) eşit olmasıdır; yani 
:<math>\operatorname{Var}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i).</math>
Bu öneri çok kere korelasyon yerine daha güçlü bir ilişki olan değişkenlerin bağımsızlığı şartı kullanılarak verilir, ama korelasyon ilişkisi de yeterlidir.

Bu nedenle eğer değişkenlerin varyansları tüm ayni ise (yani hepsi σ<sup>2</sup> ise), hemen bu formüle göre bunların ortalamasının varyansının şu ifade
:<math>\operatorname{Var}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i).</math>
olduğu görülür; çünkü ''n'' ile bölme bir doğrusal dönüşümdür.

Bu gerçek, [[merkezsel limit teoremi]] içinde özellikle kullanılan, örneklem ortalamasının [[standart hatası]]nı belirler.

=== Aralarında korelasyon bulunan değişkenlerin toplamının varyansı ===

Genel olarak, değişkenler birbirleriyle aralarında korelasyon gösteriyorlarsa, toplamlarının varyansı [[kovaryans]]larının toplamı olur:

:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Kov}(X_i, X_j).</math>

Burada Kov kovaryanstır ve eğer herhangi bir rassal değişken bağımsız ise, bu değişkenle diğer değişkenlar arasında bulunan her kovaryans değeri 0 olur. Verilen formül toplamın varyansının toplamı yapan parçaların kovaryans matrisinin bütün elemanlarına eşit olduğunu göstermektedir. Bu formül [[klasik sınama kuramı]]nda [[Cronbach'in alfa]] ölçüsü kavramını geliştirmek için de kullanılır.

Eğer değişkenlerin hep birbirine eğit varyansları, yani σ<sup>2</sup>, varsa ve ayrı ayrı değişkenler arasındaki korelasyonların ortalama değeri ρ ise, bu halde varyansların ortalaması şöyle ifade edilir:
 
:<math>\operatorname{Var}(\overline{X}) = \frac {\sigma^2} {n} + \frac {n-1} {n} \rho \sigma^2.</math>

Bu formüle göre ortalamanın varyansı korelasyonlar ortalaması ile birlikte artış gösterir.

Bunun yanında, eğer değişkenler için varyans ''1'' değerde ise (örneğin değişken değerleri standardize edilmişlerse) o halde bu formül daha da basitleştirilip şu sekli alır: 
:<math>\operatorname{Var}(\overline{X}) = \frac {1} {n} + \frac {n-1} {n} \rho.</math>

Bu formul klasik sinama teorisinde [[Spearman-Brown öngörü formülü]] için kullanılır. Eğer korelasyonlar sabit kalırlarsa veya aynı şekilde yakınsama gösterirlerse, bu ifade, ''n'' limitte sonsuz değere yakınsama gösterdikçe, ρ değerine yakınsama gösterir. Bunun bir sonucuna göre, eşit korelasyonları olan veya yakınsama gösteren ortalama korelasyonu olan standardize edilmiş değişkenler için ortalamanın varyansı şöyle ifade edilebilir:
:<math> \lim_{n \to \infty} \operatorname{Var}(\overline{X}) = \rho.</math>
Buna göre büyük sayıda standardize edilmiş değişkenlerin ortalamasının varyansı, yaklaşık olarak bunların ortalama korelasyonuna eşittir.

Bu formul diğer bir sonuç da ortaya çıkartır. [[Büyük sayılar yasası]] örneklem ortalamasının anakütle ortalamasına yakınsama göstereceğini önermesine rağmen, bu formülden açıktır ki, birbirine korelasyonu olan değişkenler bulunuyorsa örneklem ortalaması anakütle ortalamasına yakınsama göstermez.

=== Değişkenlerin ağırlıklı toplamının varyansı ===

<!--
Properties 6 and 8, along with this property from the [[covariance]] page: Cov(''aX'',&nbsp;''bY'') = ''ab''&nbsp;Cov(''X'',&nbsp;''Y'')  jointly imply that

:<math>\operatorname{Var}(aX+bY) =a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Y) + 2ab\, \operatorname{Cov}(X, Y).</math>

This implies that in a weighted sum of variables, the variable with the largest weight will have a disproportionally large weight in the variance of the total. For example, if ''X'' and ''Y'' are uncorrelated and the weight of ''X'' is two times the weight of ''Y'', then the weight of the variance of ''X'' will be four times the weight of the variance of ''Y''. 
-->

=== Varyansın parçalara ayrılması ===
<!--
The general formula for variance decomposition or the [[law of total variance]] is: If ''X'' and ''Y'' are two random variables and the variance of ''X'' exists, then

:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X|Y))+ \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X|Y)).</math>

Here, E(''X''|''Y'') is the [[conditional expectation]] of ''X'' given ''Y'', and Var(''X''|''Y'') is the conditional variance of ''X'' given ''Y''.  (A more intuitive explanation is that given a particular value of ''Y'', then ''X'' follows a distribution with mean E(''X''|''Y'') and variance Var(''X''|''Y'').  The above formula tells how to find Var(''X'') based on the distributions of these two quantities when ''Y'' is allowed to vary.) This formula is often applied in [[analysis of variance]], where the corresponding formula is

:<math>SS_{\mbox{Total}} = SS_{\mbox{Between}} + SS_{\mbox{Within}}.</math>

It is also used in [[linear regression]] analysis, where the corresponding formula is

:<math>SS_{\mbox{Total}} = SS_{\mbox{Regression}} + SS_{\mbox{Residual}}.</math>

This can also be derived from the additivity of variances (property 8), since the total (observed) score is the sum of the predicted score and the error score, where the latter two are uncorrelated.
-->
=== Varyans için hesaplama formülü ===

[[Varyans için hesaplama formülü]] hemen dogrudan dogruya beklenen değerlerin dogrusalligindan ve yukarida verilen tanimlamadan ortaya cikar\;

:<math>{}\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}(X^2 - 2\,X\,\operatorname{E}(X) + (\operatorname{E}(X))^2),</math>

:<math>{}=\operatorname{E}(X^2) - 2(\operatorname{E}(X))^2 + (\operatorname{E}(X))^2,</math>

:<math>{}=\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.</math>

Bu çok zaman pratikte varyans hesaplamasi için kullanilir. Fakat eger denklemin iki kisminin degerleri birbirine esit veya cok yakinsa numerik yaklasimlama hatasindan etkilenip yanlis değerler verebilir.

=== Karakteristik özellik ===

Bir rassal değişkenin ikinci momentinin minimum değeri bu moment, rassal değişkenin ortalaması etrafında alınınca ortaya çıkar; yani 
:<math>\mathrm{argmin}_m\,\mathrm{E}((X - m)^2) = \mathrm{E}(X)\,</math>,
Bunun aksi olarak, eğer sürekli bir fonksiyon olan <math>\varphi</math> tüm ''X'' rassal değişkenleri için 
:<math>\mathrm{argmin}_m\,\mathrm{E}(\varphi(X - m)) = \mathrm{E}(X)\,</math>
koşulunu sağlıyorsa, o halde mutlaka <math>\varphi(x) = a x^2 + b</math> ( {{nowrap|''a'' > 0}}) şeklinde bir fonksiyon olmasi gerekmektedir. Bu koşul çoklu boyutlu hallerde de geçerlidir.
<ref>Kaynak: A. Kagan and L. A. Shepp, "Why the variance?", ''Statistics and Probability Letters'', C. 38, No 4, 1998, say.&nbsp;329–333. {{İng}}</ref>

== Ayrıca bakınız ==

* [[Standart sapma]]

== Kaynakça==

{{Kaynakça}}

== Dış kaynaklar==
* Spiegel, Murray R, ve Stephens, Larry J. (Tr.Çev.: Çelebioğlu, Salih) (2013) ''İstatistik'' , İstanbul: Nobel Akademik Yayıncılık ISBN 9786051337043

{{Olasılık Dağılımlar Kuramı}}
{{İstatistik}}
<!--- İnterviki --->

[[Kategori:Olasılık dağılımlar teorisi]]
[[Kategori:Betimsel istatistik]]
[[Kategori:İstatistiksel yayılma ve sapma]]