Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı sayfasının kaynağını görüntüle

[[İstatistik]] bilim dalında, '''Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı''' veya '''Spearman'ın rho''', bu istatistiksel ölçüyü ilk ortaya atan Amerikan istatistikçi [[Charles Spearman]]'a atfen adlandırılmıştır.<ref name="Spear">Spearman,C.(1904) "The proof and measurement of association between two things" ''Amer.J.Psychol.'' C.15 say.72–101</ref> Matematik notasyon olarak çok defa eski Yunan harfi ρ (rho okunur) ile belirtilir. Bir [[parametrik olmayan istatistik]] ölçüsüdür ve iki değişken arasındaki bağımlılık, yani korelasyon, ölçüsü olarak bulunup kullanılır. Bu demektir ki '''Spearman'in rho (ρ) katsayısı''' iki [[değişken]] için [[çokluluklar dağılımı]] hakkında hiçbir varsayım yapmayarak, bu iki değişken arasında bulunan bağlantının herhangi bir monotonik fonksiyon ile ne kadar iyi betimlenebilineceğini değerlendirmek amaçlı incelemedir.<ref name="Kend">Kendall,M.G. (1962) ''Rank correlation methods'', Griffin</ref><ref name="Hol&Wol">Hollander,M. ve Wolfe,D.A. (1973) ''Nonparametric statistical methods'', New York:Wiley</ref>

== Yöntem ==

Prensip olarak ''Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı'' ρ [[Korelasyon#Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı|Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısın]]ın özel bir halidir. ρ değerinin hesaplanması için iki değişken (Y ve X) içinde örneklem verilerinin [[sıralama düzeni]]nde olmaları gereklidir. Genel olarak, örneklem verileri için bu koşul uygun değildir ve veriler [[sıralama düzeni]] halinde olmadan [[ölçülme ölçeği#oransal ölçek|oransal ölçekli]] veya [[ölçülme ölçeği#aralıksal ölçek|aralıksal ölçekli]] veya [[ölçülme ölçeği#sırasal|sırasal ölçekli]] olarak bulunur ve bu halde bir dönüşümle [[sıralama düzeni]] haline sokulurlar. Böylece ρ formulü için sıralama düzenli <math>x_i</math> ve <math>y_i</math> örneklem verileri kullanılır<ref name="myers2003">Myers,J.L. ve Well,A.D. (2003), ''Research Design and Statistical Analysis (2.ed.)'', Lawrence Erlbaum</ref>.

Sonra iki değişken için karşılıklı veri elemanları (<math>x_i</math> ve <math>y_i</math>)nin sıra numaraları arasındaki fark <math>d_i</math> i=1,...n olarak bulunur. Bu tüm karşılıklı veriler (i=1...n) için uygulanır. Eğer sıra numaraları arasında hiç beraberlik yoksa, ρ değerini bulmak için şu formül kullanılır:

:<math> \rho = 1- {\frac {6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}}</math> 
Burada 
:<math>d_i = x_i - y_i</math> : i elamni <math>X_i</math> ile <math>Y_i</math> sıra numaraları arasındaki fark;
:''n'' : iki değişkenli örneklemde toplam gözlem sayısı.

Eğer sıralama esnasında beraberlikler bulunursa, sıralama numaraları verileri olarak kullanılarak klasik [[Korelasyon#Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı|Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı]] formulü kullanılması tavsiye edilir.<ref name="myers2003"/> Bu halde [[sıralama düzeni]] hazırlanırken beraberlikler halinde kullanılacak strateji her beraber sıra numaralı veriye beraberlik sıra ortalama değeri verilmesidir (yani 1 2,5 2,5 4 stratejisinin uygulanmasıdır). Bu halde formül şu olur :

:<math>
\rho=\frac{n(\sum x_iy_i)-(\sum x_i)(\sum y_i)}
{\sqrt{n(\sum x_i^2)-(\sum x_i)^2}~\sqrt{n(\sum y_i^2)-(\sum y_i)^2}}.
</math>

''Spearman'in ρ'' katsayısı değerleri de (aynı ''Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı'' gibi) -1 ile +1 arasında değişir. Uç değerler (yani ρ=-1 ve ρ=+1 ve yakın değerler) iki değişken sıralaması arasında bağlantının çok iyi olduğunu (eğer sıralamalar noktalar olarak bir [[serpme diyagramı]]na konulursa hepsinin çizilen bir doğru üzerinde olduğunu) gösterirler. Eğer ρ<0 ise, sıralamalar arasında indirek aksi değişme vardır; yani biri artınca diğeri azalır ve aksi olur. Eğer ρ>0 ise sıralamalar arasında birlikte (yani birlikte artma veya eksilme) değişme görülür. Eğer ρ=0 ise, sıralamalar arasında hiçbir bağlantını bulunmadığı (ve ''serpme diyagrami'' üzerinde noktaların rastgele dağıldıkları) sonucu çıkartılır.

== Diğer sıralama korelasyon ölçüleriyle ilişki ==

''Spearman'in ρ sıralama korelasyon katsayısı'' ile [[Kendal'ın sıralama korelasyon katsayısı]] τ, bu ölçüleri destekleyen varsayımlara göre, birbiri ile aynıdır. Ancak aynı örneklem veriler serisi ile hesaplanan Spearman ρ katsayısı değeri ile Kendal'ın τ katsayısı değeri birbirinden farklı olacaktır. Buna başlıca neden hesaplama formüllerin geliştirilmesi için kullanılan mantıksal önerimlerin başka olması ve bu nedenle bibirinden çok değişik iki formülün ortaya çıkmasıdır. Bu iki katsayı arasındaki ilişki bir eşitsizlik ile ifade edilmiştir:
:-1 < = 3 * τ - 2 * ρ < = 1
<ref name="Siegel">Siegel,S. ve Castellan,N.J. (1988), ''Nonparametric statistics for the behavioral sciences 2. ed.'' New York: McGraw-Hill</ref> Spearman'in ρ katsayısı [[sıralama düzeni]] verileri ile ''Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı''nın hesaplanmasıdır ve temel mantik olarak bu iki katsayı aynı önerimlere dayanırlar. Halbuki ''Kendal'in τ katsayısı'' bir olasılık ifade eder ve uyuşma ve uyuşmama puanları için gerçek toplam ile maksimum mümkün toplam arasında bir orantıdır.

== Örneğin ==

Tabloda iki değişken X ve Y için n=8 gözlem sayılı örneklem verileri için '''Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı ρ''' hesaplanması için örneğin verilmektedir. [A] ve [B] sütunlarında bu iki değişken X ve Y için örneklem verileri verilmiştir. [C] ve [D] sütunlarında bu iki değişkenlerin verileri için ayrı ayrı [[sıralama düzeni]] uygulanıp sıra numaraları x ve y olarak verilmiştir. X için verilerde 2 değişik beraberlik görülmektedir: 3 ve 10. Bu nedenle iki tekrarlı 3 için verilen sıra numaraları ortalaması (2+3)/2= 2,5 dur. Aynı şeklide 2 tekrarlı 10 için sıra numaraları 7,5 7,5 olarak verilmiştir. Y için verilerde ise 1,5 için 2 beraberlik ve 5 için 2 beraberlik bulunmaktadır ve bunlara da ortalama sıra numaraları verilmiştir. Sütun [E]de sıra numaraları farkları d verilmekte ve son [F] sütununda fark kareleri d<sup>2</sup> hesaplanmaktadır.

{| class="wikitable"
|-
| [A]
| [B]
| [C]
| [D]
| [E]
| [F]
|-
| X
| Y
| x : X için sıralama
| y : Y için sıralama
| d : Sıralama <br /> farkları
| d<sup>2</sup> : Farkların karesi
|-
| 2
| 1,5
| 1
| 2,5
| -1,5
| 2,25
|-
| 3
| 1,5
| 2,5
| 2,5
| 0
| 0
|-
| 3
| 4
| 2,5
| 5
| -2,5
| 6,25
|-
| 5
| 3
| 4
| 4
| 0
| 0
|-
| 5,5
| 1
| 5
| 1
| 4
| 16
|-
| 8
| 5
| 6
| 6,5
| -0,5
| 0,25
|-
| 10
| 5
| 7,5
| 6,5
| 1
| 1
|-
| 10
| 9,5
| 7,5
| 8
| -0,5
| 0,25
|-
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| &nbsp;
| Kareler  <br />Toplamı 
| 26
|}

Fark kareleri toplamı <math>\sum d_i^2 = 26</math> olarak bulunmuştur. Hesapların değerleri formüle şöyle konulur:

:<math> \rho = 1- {\frac {6\times26}{8(8^2 - 1)}}</math>

ve şu sonuç bulunur <math> \rho = 0.6</math>.

Bu ρ=0.6 değeri sıfıra yakın pozitiftir. Sıfıra yakınlığı X ve Y sıralamaları arasındaki bağlantının (korelasyonun) az olduğunu gösterir ve negatif olma ise var zayıf bağlantının aksi yönde olduğunu ifade eder (yani X sıralaması artarsa Y sıralaması düşer ve aksi olur).

Bu veriler içinde beraberlikler bulunmaktadır. Bu nedenle kullanılan genel ρ formülü uygun sonuç vermeyebilir. Daha uygun sonuç bulmak için x ve y sıra numaraları için ''Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı'' bulunması tavsiye edilmektedir.

== ρ kestirimi için anlamlılık sınaması ==

Eğer hesaplar ve anlamlılık sınaması el hesap makineleri ile yapılmakta ise, klasik [[çıkarımsal istatistik]] yöntemleri kullanılmalıdır.

ρ kestirminin anlamlılık sınanması için en basit yaklaşım belirli gözlem sayısı ve belirli anlamlılık düzeyi değerleri için hazırlanmış özel tablolar kullanılarak başarılır <ref name="Siegel"/>. Ancak bu tablolar belirli veri sayısı ve anlamlılık düzeyi dışında ise kullanılamaz.

Önemli kompüter istatistik paketleri Spearman'in sıralamalı korelasyon katsayısını hesapladıkları zaman ek olarak anlamlılık sınaması için [[p-değeri]]ni de yanında vermektedirler.

Diğer bir alternatif yaklaşım eğer örneklem hacmi 20den büyük ise uygulanabilir. Bu halde [[Student'in t dağılımı]]na bir yaklaşım kullanılır: 
:<math>t = \frac{\rho}{\sqrt{(1-\rho^2)/(n-2)}}</math>
:<math>\rho = \frac{t}{\sqrt{n-2+t^2}}</math>
değişkeni [[sıfır hipotez]] olan ρ=0 için bir [[Student'in t dağılımı]] gösterir. Ancak [[karşıt hipotez]] biraz zayıftır ve sifir hipotez ret edilnece ρ'nun ne değer alacağını göstermez.

Gözümlenen ρ değerinin anlamlı şekilde 0dan başka değerde olmasını sınama için modern yaklaşım olarak [[tekrar örnekleme sınaması]] yöntemi kullanılmaktadır ve bu tip sınama için, [[sıfır hipotez]] verilmişse anakütle ρ değerinin örneklemle elde edilen değerde ve ondan büyük olma olasılığı hesap edilir. Bu modern sınama yöntemi ancak kompüter programı yazabilen ve kompüteri iyi kullanabilen bir bilim insanı için çok kolay olabilir.

== Dipnotları ==

{{Kaynakça}}

== İçsel kaynaklar ==

* [[Kendall tau sıralama korelasyon katsayısı]]
* [[Sıralama korelasyonu]]
<!--* [[Chebyshev'in toplam eşitsizliği]], [[tekrar düzenleme eşitsizliği]]--> 
* [[Korelasyon#Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı|Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı]]
* [[Korelasyon]]

== Dış bağlantılar ==
* [http://www.sussex.ac.uk/Users/grahamh/RM1web/Rhotable.htm] Küçük örneklemler için ρ için kritik değerler tablosu.
* [http://www.wessa.net/rankcorr.wasp] Online ρ hesaplayıcısı.
* [http://faculty.vassar.edu/lowry/webtext.html] Beraberlikler olursa kullanılabilecek bir diğer formül vermekte.
* [http://udel.edu/~mcdonald/statspearman.html] Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı: Öğrenciler için hazırlanmış bir örnek problem çözümü ve notlar. Hesaplama için [[Microsoft Excel]] kullanılması da gösterilir.

{{İstatistik}}
<!-- İnterviki -->

[[Kategori:İstatistiksel sınamalar]]
[[Kategori:Parametrik olmayan istatistik]]