Son değer teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematiksel analiz]]de '''son değer teoremi''' ('''SDT'''), [[frekans domeni]] ile ilgili bir ifadenin [[zaman domeni]]ndeki davranışının [[sonsuz]]a yakınsak zamandaki karşılığı olan bir [[teorem]]dir. Bir son değer teoremi, frekans domeni ifadesine bir sınır koyarak doğrudan hesaplanması için zaman domeni davranışını belirler. Zaman domeni ifadesine dönüştürüldüğünde bazı sınır değerler alır.

:<math>\lim_{t\to\infty}f(t)</math>
matematiksel olarak eğer sonlu bir sınır değeri varsa,
:<math>\lim_{t\to\infty}f(t) = \lim_{s\to 0}{sF(s)}</math> olur.
Burada <math>F(s)</math>, <math>f(t)</math> fonksiyonunun (tek taraflı) [[Laplace dönüşümü]]dür.

==Basit örnek==
: <math> f(t) = e^{-t} </math> olsun.
: <math> F(s) = \frac{1} {s+1} </math>

: <math> f({\infty}) = \lim_{s\to 0}{\frac{s} {s+1}} =0 \, </math>

== SDT'nin savunulduğu yere örnek ==

Örneğin bir sistem [[transfer fonksiyonu]] ile açıklansın;
:<math>H(s) = \frac{ 6 }{s + 2}</math>
Bunun [[darbe cevabı]] şuna yakınsar;
:<math>\lim_{t \to \infty} h(t) = \lim_{s \to 0} \frac{6s}{s+2} = 0.</math>
Bu, kısa bir darbe ile tetiklendikten sonra sistem sıfıra gider. Yine de, [[adım cevabı|birim adım cevaplarının]] Laplace dönüşümü şöyledir;
:<math>G(s) = \frac{1}{s} \frac{6}{s+2}</math>
ve buradaki darbe cevabı şuna yakınsar;
:<math>\lim_{t \to \infty} g(t) = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s} \frac{6}{s+2} = \frac{6}{2} = 3</math>
bu şekilde sıfır durumlu sistemin üssel artışı son değer 3'e gider.

== SDT'nin savunulmadığı yere örnek ==

Örneğin bir sistem [[transfer fonksiyonu]] ile açıklansın;

:<math>H(s) = \frac{9}{s^2 + 9}</math>

Son değer teoremi, 0 olan darbe cevabının ve 1 olan adım cevabının son değerini öngörmek için ''kullanılır''. Ne zaman domeni sınırı vardır ne de son değer teoremi öngörüleri geçerlidir. Aslında hem darbe cevabı hem de adım cevabı kararsızdır ve (bu özel durumda) son değer teoremi, kararsızlık etrafındaki cevapların ortalama değerlerini açıklar.

[[Köklerin yer eğrisi|Kontrol teorisinde]] gerçekleştirilen iki kontrol vardır. Bunlar son değer teoremi için geçerli sonuçlar doğrular:
# <math>H(s)</math> tüm [[Kesir|payda]]nın kökleri negatif [[gerçel kısım]]da olmalı.
# <math>H(s)</math>, [[Sıfır noktası|orjinde]] birden fazla [[kök]]ü olmamalı.

Kural 1, bu örnekte tatmin edici değil. Çünkü paydada <math>+j3</math> ve <math>-j3</math> olarak iki kök var.

==Ayrıca bakınız==
* [[Başlangıç değer teoremi]]
* [[Z-dönüşümü]]

==Dış bağlantılar==
*http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
*http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html Final value for Laplace
*http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf Final value proof for Z-transforms

[[Kategori:Analiz teoremleri]]
[[Kategori:Fourier dönüşümü]]