Sözde-Riemannyen manifold sayfasının kaynağını görüntüle

[[Diferansiyel geometri]]de, bir '''yalancı-Riemannyen manifold''' <ref>{{Kaynak | soyadı1=Benn|ad1=I.M.|soyadı2=Tucker|ad2=R.W. | başlık = An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics| yayıncı=Adam Hilger | yıl=1987| sayfa=172}}
</ref><ref>{{Kaynak | soyadı1=Bishop|ad1=R.L.|soyadı2=Goldberg|ad2=S.I. | başlık = Tensor Analysis on Manifolds|yayıncı=The Macmillan Company | yıl=1968|sayfa=208}}</ref> (ayrıca bir '''yarı-Riemannyen manifold''' denir)  [[Riemannyen manifold]]unun bir genellemesidir ve bu gibi birçok matematiksel nesnelerin isimlendirmesi [[Bernhard Riemann]] anısınadır. Bir Riemannian manifold ile bir yalancı-Riemannyen manifold arasında temel fark  bir yalancı-Riemannyen manifold üzerindeki [[metrik tensör]] [[Definite bilinear form|pozitif-tanım]]a gerek duymaz,onun  yerine [[nondegenerate|dejenere olmayan]]ın zayıf bir durumu  dayatılır.

== Giriş ==
=== Manifoldlar ===

{{ana|Manifold|Diferansiyellenebilir manifold}}

[[Diferansiyel geometri]]de  [[diferansiyellenebilir manifold]] bir uzay ve bu  [[Öklid uzayı]]na benzer bir yereldir ve bir <var>n</var>-boyutlu Öklidyen uzay içinde herhangi <var>n</var> noktasi  gerçel sayılarla belirtilebilir  ve bu noktanın [[koordinat]]ları olarak adlandırılır.

Bir <var>n</var>-boyutlu diferansiyellenebilir manifold  <var>n</var>-boyutlu Öklidyen uzayın bir genellemesidir,bir manifold içinde bu koordinatlar ''yerellik'' tanımı için mümkün olabilir,bu ancak  [[koordinat yama]]ları tanımı ile sağlanabilir:manifoldun altkümeleri  <var>n</var>-boyutlu Öklidyen uzay içine bu  yolla eşlenebilir. [[Manifold]], [[diferansiyellenebilir manifold]],daha detaylar için ise  [[koordinat yama]]sı konularina bakilabilir.

=== Tanjant uzay ve metrik tensörler ===

{{ana|Tanjant uzay|metrik tensör}}

Bir <math>\scriptstyle n</math>-boyutlu diferansiyellenebilir manifold <math>\scriptstyle M</math> içinde  ilişkili her <math>\scriptstyle p</math> noktasi ile  bir [[tanjant uzay]]dır (<math>\scriptstyle T_pM</math> ile ifade edilen). Bu <math>\scriptstyle n</math>-boyutlu [[vektör uzayı]] gibi ögeler bir <math>\scriptstyle p</math> noktası aracılıyla geçen eğrilerin [[denklik sınıfı]]ları olarak düşünülebilir .

[[dejenere-olmayan]] bir [[metrik tensör]] düzgün, simetrik, [[çiftdoğrusal gönderme]] bu manifoldun her tanjant uzayında tanjant vektörlerin bir çiftine  bir [[gerçek sayı]] değeri atar.Metrik tensör olarak  <math>\scriptstyle  g</math>  ile  bunu ifade edebiliriz 
:<math>g : T_pM \times T_pM \to \mathbb{R}</math>.

Gönderme simetrik ve çiftdoğrusal ve eğer <math>\scriptstyle X,Y,Z \in T_pM</math> gibi bir <math>\scriptstyle M</math> manifolda <math>\scriptstyle p</math> noktasında  tanjant vektörler  ise elimizde
* <math>\,g(X,Y) = g(Y,X)</math>
* <math>\,g(aX + Y, Z) = a g(X,Z) + g(Y,Z)</math>
var.
herhangi bir <math>\scriptstyle a\in\mathbb{R}</math> gerçel sayı için .

<math>\scriptstyle g</math> [[dejenere-olmayan]] ve bunun anlamı tüm <math>Y \in T_pM</math> için  <math>\,g(X,Y) = 0</math> gibi  <math>X \in T_pM</math> sıfır-olmayan yoktur.

=== Metrik işaretleri ===

{{ana|Metrik işaret}}

Bir ''n''-boyutlu gerçek manifold üzerinde verilen bir metrik tensör ''g'', ''n'' gerçek değerler üreten herhangi [[ortogonal taban]]ın her vektörü için metrik tensör uygulanan ile ilişkili [[karesel formu]] {{Matematik|1=''q''(''x'') = ''g''(''x'',''x'')}} dır. [[Sylvester's law of inertia#Law of inertia for quadratic forms|Sylvester'in katılık teoremi]] ile, her pozitif, negatif ve  bu tutum içinde üretilen sıfır değerlerin sayısı ortogonal tabanın seçiminden bağımsız metrik tensorün değişmezleridir.Metrik tensörün verilen bu sayıların '''[[Metric signature|işaret]]i''' (''p'',''q'',''r'') ,aynı derece içinde gösterilir.Bir dejenere olmayan bir metrik tensör {{Matematik|1=''r'' = 0}}  ve işareti için (''p'',''q'') ile ifade edilebilir, burada {{Matematik|1=''p'' + ''q'' = ''n''}} dir.
{{ana|Metrik işaret}}

== Tanım ==

Bir <math>\,(M,g)</math> '''sözde-Riemannyen manifold''' dejenere olmayan bir <math>\,M</math> [[diferansiyellenebilir manifold]] ile donanımlıdır,düzgün bir [[Riemannian metrik]] aksine , bu <math>\,g</math>  simetrik [[metrik tensör]],[[Definite bilinear form|pozitif tanım]]a gerek duymaz,ama dejenere olmamalıdır.Böyle bir metriğe bir '''sözde-Riemannyen metrik''' denir ve onun değerleri pozitif,negatif veya sıfır olabilir.

Bir sözde-Riemannyen metriğin işareti (<p,q>) burada hem p ve hem de q negatif-değildir.

==Lorentzyen manifold==

Bir '''Lorentzyen manifold''' bu metriğin işareti içinde bir sözde-Riemannyen manifoldun bir önemli özel durumu (1, <var>n</var>−1) (veya bazen (<var>n</var>−1, 1) dir, bakınız [[işaret kuralı]]). Böyle metrikler '''Lorentzyen metrikler''' olarak adlandırılır. Bu isim fizikçi [[Hendrik Lorentz]] sonrasıdır.

=== Fizikte uygulamaları ===

Riemann manifoldları sonrası, Lorentz manifoldları pseudo-Riemann manifoldları en önemli alt sınıfı oluşturur. Onlar çünkü onların [[genel görelilik]] teorisinin fiziksel uygulamaları önemlidir.

A principal basis of [[general relativity]] is that [[spacetime]] can be modeled as a 4-dimensional Lorentzian manifold of signature (3, 1) or, equivalently, (1, 3). Unlike Riemannian manifolds with positive-definite metrics, a signature of (<var>p</var>, 1) or (1, <var>q</var>) allows tangent vectors  into ''zamangibi'', boş veya ''uzaygibi''  sınıflandırılır.(bakınız [[Causal structure|nedensel yapı]]).

==sözde-Riemannyen manifoldların özellikleri==

Sadece [[Öklidyen uzay]] <math>\mathbb{R}^n</math> olarak  model [[Riemannyen manifold]] olarak düşünülebilir, [[Minkowski uzayı]] <math>\mathbb{R}^{n-1,1}</math> düzgün [[Minkowski metriği]] ile model Lorentzyen manifolddur. Likewise, the  for  of işaretinin (<var>p</var>, <var>q</var>) bir sözde-Riemannyen manifoldu için model uzay <math>\mathbb{R}^{p,q}</math></sup> ile metrik 
:<math>g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_{p+q}^2</math>'tir

Riemann geometrinin bazı temel teoremler sözde-Riemann durumuna genelleştirilebilir.Özel olarak,[[Riemannyen geometrisinin temel teoremi]] yanı sıra sözde-Riemannyen manifoldların içinde doğrudur. Bu ilişkili [[Riemann curvature tensor|eğrilik tensörü]] ile bir yalancı-Riemannyen manifold boyunca üzerindeki [[Levi-Civita bağlantısı]]nın konuşmasına izin verir. Öte yandan, genel duruma sahip olmayan Riemannian geometrisinde pek çok teorem vardır. Örneğin, her bir düz manifoldu verilen bir işaretinin bir sözde-Riemannian metrik kabul eder olduğu doğru ''değil''dir; buradaki belli [[topology|topolojik]] engeldir. Dahası, bir [[alt-manifold]]  bir sözde-Riemannyen manifoldun yapısı her zaman devralınmaz değildir;  Örneğin,metrik tensör herhangi [[Minkowski space#Causal structure|ışık-gibi]] [[eğri]] üzerinde sıfır değeri almaz.Bir sözde-Riemannyen manifoldun bir örneğini [[Clifton–Pohl torus]]u sağlar ama tam değildir,bu [[Hopf–Rinow teoremi]]nin özelliklerinin bir bileşimi Riemannyen manifoldlar için olanak vermez.<ref>{{Kaynak|başlık=Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity|cilt=103|seri=Pure and Applied Mathematics|ad=Barrett|soyadı=O'Neill|yayıncı=Academic Press|yıl=1983|isbn=9780080570570|sayfa=193|url=http://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193}}.</ref>

== Ayrıca bakınız ==
* [[Uzay]]
* [[Hiperbolik kısmi diferansiyel denklem]]
* [[Nedensellik koşulları]]
* [[Küresel hiperbolik manifold]]

==Notlar==
{{Kaynakça}}

==Kaynakça==
* {{Kaynak | soyadı1=Benn|ad1=I.M.|soyadı2=Tucker|ad2=R.W. | başlık = An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics| yayıncı=Adam Hilger | yıl=1987|baskı=First published 1987|isbn=0-85274-169-3}}
* {{Kaynak | soyadı1=Bishop|ad1=Richard L.|soyadı2=Goldberg|ad2=Samuel I. | başlık = Tensor Analysis on Manifolds|yayıncı=The Macmillan Company | yıl=1968|baskı=First Dover 1980|isbn=0-486-64039-6}}
* {{Kaynak | soyadı1=Chen|ad1=Bang-Yen| | başlık = Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications| yayıncı=World Scientific Publisher | yıl=2011|isbn=978-981-4329-63-7}}
* G. Vrănceanu & R. Roşca (1976) ''Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry'', Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

[[Kategori:Lorentzyen manifoldlar]]
[[Kategori:Düzgün manifold]]
[[Kategori:Bernhard Riemann]]