Riemann zeta işlevi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Complex zeta.jpg|sağ|thumb|300px|[[Karmaşık düzlem]]de Riemann zeta işlevi ζ(''s''). ''s'' noktasındaki renk ζ(''s'') değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.
''s''&nbsp;=&nbsp;1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(''s'')&nbsp;=&nbsp;1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.]]
[[Matematik]]te '''Riemann zeta işlevi (ya da; [[Leonhard Euler|Euler]]-Reimann zeta işlevi)''', [[Almanya|Alman]] matematikçi [[Bernhard Riemann]] tarafından 1859'da [[Belirli Bir Büyüklükten Küçük Asal Sayılar Üzerine|bulunmuş]] olan ve [[Asal sayı kuramı|asal sayıların dağılımıyla]] olan ilişkisinden ötürü [[Sayılar teorisi|sayı kuramında]] önemli yeri bulunan seçkin bir [[işlev]]dir. İşlev; [[fizik]], [[olasılık kuramı]] ve uygulamalı [[istatistik]]te de kullanılmaktadır.

Riemann zeta işlevi(Riemann zeta fonksiyonu), farklı şekillerde de ifade edilse de en yaygın gösterimi; 
:<math>
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \;\;\;\;\;\;\;
\!</math>

şeklindedir. Buradaki "S" karmaşık sayısı 1 'den farklı bir sayı olmalıdır.

Riemann zeta işlevinin, [[Kök (matematik)|köklerinin]] dağılımına ilişkin bir sav olan [[Riemann önermesi]] birçok matematikçi tarafından [[yalın matematik|yalın matematiğin]] şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.<ref>{{Web kaynağı | url = http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf | başlık = The Riemann Hypothesis - official problem description | erişimtarihi =5 Eylül 2009| yayımcı = Clay Mathematics Institute | ilk = Enrico | son = Bombieri | arşivurl = http://web.archive.org/web/20120313021631/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf | arşivtarihi = 13 Mart 2012}}</ref>
== Özel değerler ==
[[Dosya:Zeta.png|thumb|300px|''s''&nbsp;>&nbsp;1 için gerçel Riemann zeta fonksiyonu]]
{{Ana|Riemann zeta fonksiyonunun özel değerleri}}
Herhangi pozitif ''2n'' çift [[Tam sayı|tamsayısı]] için:

:<math> \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}</math>

Burada ''B''<sub>2''n''</sub>  bir [[Bernoulli sayısı]]dır.

Negatif tam sayılar 
{{nowrap|''n'' ≥ 1}} için:
:<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>

Böylece, özel olarak  ''ζ'' içinde negatif çift tam sayılar kaybolur çünkü;&nbsp;"1" dışında tüm "m"ler için ''B''<sub>''m''</sub> = 0

pozitif tek tam sayılar için,bağıntının bu kadar basit olmadığı biliniyor.

:<math>\zeta(-1) = -\frac{1}{12}</math>
::[[1 + 2 + 3 + 4 + · · ·]] [[ıraksak seri]]ler'e sonlu bir sonuç atamak için bir yol verir ki, [[string teorisi]] gibi bazı bağlamlarda yararlı olabilir..<ref name='polchinski'>{{Kitap kaynağı | soyadı = Polchinski | ad = Joseph | authorlink = Joseph Polchinski | başlık = String Theory, Volume I: An Introduction to the Bosonic String | yayıncı = Cambridge University Press | yıl = 1998 | sayfalar = 22 | isbn = 978-0-521-63303-1}}</ref>
:<math>\zeta(0) = -\frac{1}{2};\!</math>

:<math>\zeta(1/2) \approx -1.4603545\!</math> &nbsp; 
:: Bu doğrusal denklem kinetik kinetik sınır tabaka problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.<ref>A J Kainz and U M Titulaer, ''An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations'', pp. 1855-1874, J. Phys. A: Mathem. and General, V 25, No 7,  1992</ref>

:<math>\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!</math>
::Eğer 1'den büyük sayılara yaklaşılıyorsa bu [[Harmonik seriler|harmonik seridir]]. Ama onun asıl değeri;

:<math> \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\varepsilon)+\zeta(1-\varepsilon)}{2}</math>
:Buradaki <math>\gamma = 0.5772\ldots</math> [[Euler–Mascheroni sabiti]]dir .

:<math>\zeta(3/2) \approx 2.612;\!</math> &nbsp; 
::Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir [[Bose–Einstein yoğunlaşması]], ve manyetik sistemlerde [[spin dalga]] fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.

:<math>\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!</math> &nbsp; {{OEIS|id=A013661}}
::Bu eşitliğin gösterimi [[Basel problemi]] olarak bilinir.Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının [[aralarında asal]] olma olasılığı nedir?<ref>[[C. Stanley Ogilvy|C. S. Ogilvy]] & J. T. Anderson ''Excursions in Number Theory'', pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9</ref>

:<math>\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!</math> &nbsp;

::Bu [[Apéry'in sabiti]]'dir.

:<math>\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!</math> &nbsp;

::Fizikteki [[Stefan–Boltzmann kanunu]]nun türevine [[Planck kanunu]] bütünleştirilirse belirgin olur

== Gösterimler ==

=== Mellin dönüşümü ===
Bir fonksiyon ''ƒ''(''x'')'in, [[Mellin dönüşümü]] şu şekilde tanımlanır: 
:<math> \int_0^\infty f(x)x^{s-1}\, dx, </math>
Bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak  zeta-fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardır. Eğer ''s'''in gerçek parçası 1'den daha büyük ise,

:<math>\Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx, </math>

Burada Γ  [[Gama fonksiyonu]]nu ifade eder. Reimann, sınır değiştirerek şunu gösterdi:

:<math>2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) =i\oint_C \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,dx </math>

Her ''s'' için, burada C başlangıç ve  +∞ da son sınırlarıdır ve  başlangıcı çevreler.

Asal sayılara ilişkin bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve [[asal sayı teoremi]] eğer π(''x'') [[Asal değer fonksiyonu|Asal-değer fonksiyonu]] ise {{nowrap|Re(''s'') > 1}} değerleri ile

:<math>\log \zeta(s) = s \int_0^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}\,dx,</math>
Bir benzer Mellin dönüşümünü, Riemann asal-değer fonksiyonu ''J''(''x'') içerir, bu değerler asal kuvvet ''p''<sup>''n''</sup> ve  1/''n'''in ağırlığı ile böylece

: <math>J(x) = \sum \frac{\pi(x^{1/n})}{n}.</math>

Şimdi elimizde;

:<math>\log \zeta(s) = s\int_0^\infty J(x)x^{-s-1}\,dx. </math> var

Bu bağıntıda ters Mellin dönüşümünü asal sayı teoreminin anlamını sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-deger fonksiyonu ile çalışmak için daha kolaydır,ve π(''x'') [[Möbius tersi]] ile bundan kurtulunabilir.

=== Teta fonksiyonları ===
Riemann zeta fonksiyonu bir ıraksak Mellin dönüşümü ile
[[Theta function|Jacobi teta foksiyonu]]nun terimleri içinde resmen verilebilir

:<math>\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau) </math> ile
:<math>2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt,</math>

Bununla beraber bu integral ''s'' 'in herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:

:<math>
\begin{align}
& {}\quad \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) \\[6pt]
& = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2} \int_0^1 \left(\theta(it)-t^{-1/2}\right)t^{s/2-1}\,dt + \frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt.
\end{align}
</math>

=== Laurent serileri ===
Riemann zeta fonksiyonu   tek  ''s''&nbsp;=&nbsp;1'de  tek katli bir tek [[pole (complex analysis)|kutup]] ile [[meromorfik]]tir.Bunun için bir [[Laurent serisi]] boyutu ''s''&nbsp;=&nbsp;1 de seriye açılabilir olsun;

:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n.</math>

γ<sub>''n''</sub> sabitine [[Stieltjes sabiti]] deniliyor ve [[limit of a sequence|limit]] ile tanımlanabilir

: <math> \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left[\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\log k)^n}{k}\right) - \frac{(\log m)^{n+1}}{n+1}\right]}.</math>

Sabit terim γ<sub>0</sub> [[Euler–Mascheroni sabiti]]dir.

=== Integral ===
<math>s\in\mathbb{C}\setminus\{1\}</math> tümü için integral ilişkisi
: <math>\zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\!\int_0^{\infty}\!\!\!\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}(\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t,</math>
tutulanlar doğrudur,Zeta-fonksiyonunun bir sayısal evrimi için kullanılabilir.<ref>[http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs5/seite19.html Mathematik-Online-Kurs: Numerik – Numerische Integration der Riemannschen Zeta-Funktion]</ref>

=== Yükselen faktöriyel ===
Diğer serileri geliştirmede  tam karmaşık düzlem için [[Pochhammer symbol|yükselen faktöryel]] değeri kullanılan

:<math>\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - \sum_{n=1}^\infty \left(\zeta(s+n)-1\right)\frac{s(s+1)\cdots(s+n-1)}{(n+1)!}.\!</math>'dir

Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli olarak kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu  ''x''<sup>''s''&minus;1</sup>;   [[Gauss–Kuzmin–Wirsing işlemcisi]] hareketi üzerinde bir integral içinde  Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür ve yine bu bağlamda [[düşen faktöriyel]]in terimleri içinde bir seri açılımına genişletilir.

=== Hadamard çarpımı ===
{{Diğer anlamı|Matrix multiplication#Hadamard product{{!}}Matris çarpımı}}
[[Hadamard]] ,[[Weierstrass factorization theorem|Weierstrass'ın çarpanlama teoremi]]nin temelinde
[[sonsuz çarpım]] açılımını verdi

:<math>\zeta(s) = \frac{e^{(\log(2\pi)-1-\gamma/2)s}}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho},\!</math>

burada çarpım  ''ζ'''nın önemsiz-olmayan sıfırlar ''ρ'' dir ve  yine γ harfi  [[Euler–Mascheroni sabiti]] ifade eder.Daha basit bir [[sonsuz çarpım]] açılımı

:<math>\zeta(s) = \pi^{s/2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)}.\!</math>
dır
Bu form ''s''&nbsp;=&nbsp;1,de basit kutuplar −2,&nbsp;−4,&nbsp;... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde  gamma fonksiyonu terimine gereken, ve ''s''&nbsp;=&nbsp;''ρ''da önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani  ''ρ'' formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1&nbsp;−&nbsp;''ρ'' birleştirilmelidir.)

=== Kritik şerit üzerinde logaritmik türev ===

: <math>
{\pi \frac{dN}{dx} (x) = \frac{1}{2i}\frac{d}{dx}\bigl(\log(\zeta(1/2 + ix)) - \log(\zeta(1/2 - ix))\bigr)- \frac{2}{1+4x^2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{2n + 1/2}{(2n + 1/2)^2 +x^2}}
</math>

burada <math> \frac{dN(x)}{dx} = \sum_\rho \delta (x-\rho) </math>  kritik şerit 0&nbsp;<&nbsp;Re(''s'')&nbsp;<&nbsp;1 üzerinde ''ζ'' nın sıfırının yoğunluğudur.(''δ'' [[Dirac delta dağılımı]]dır, ve toplam  ''ζ'''nin üzerinde önemsiz olmayan ''ρ'' of&nbsp;dir).

=== Küresel yakınsak seriler ===
zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri,tüm karmaşık sayılar  için ''s'' değerleri{{nowrap|''s'' {{=}} 1 + <big>{{sfrac|2π''in''|log(2)}}</big>}} dışında bazı ''n'' tam sayı için,[[Konrad Knopp]] 1930 içinde [[Helmut Hasse]] ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. [[Euler toplamı]]):

:<math>\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}
\sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (k+1)^{-s}.\!</math>

serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi, ve  genel bilgiler kadar olmadı bu  60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).

Hasse ayrıca küresel yakınsak seriyi kanıtlanmıştır
:<math>\zeta(s)=\frac 1{s-1}\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}</math>
aynı  baskı içindedir.

[[Peter Borwein]] yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti. 
Algoritma, [[Chebyshev polinomu|Chebyshev polinom]]larından yararlanarak,  [[Dirichlet eta fonksiyonu]] üzerine yazılar içinde tanımlanır.

== Uygulamalar ==

Zeta fonksiyonu [[istatistik]] uygulamaları içinde oluşur (bak [[Zipf's kanunu]] ve [[Zipf–Mandelbrot kanunu]]).

[[Zeta fonksiyon düzenlenmesi]] [[ıraksak serisi]]nin [[regularization (physics)|düzenlenmesi]] ve [[kuantum alan teorisi]] içinde [[ıraksak integral]]in bir olasılığı olarak kullanılır.Bir önemli örnekte,[[Casimir etkisi]]nin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir.Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.<ref>{{Web kaynağı | başlık = Dynamical systems and number theory | url = http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/spinchains.htm | arşivengelli = evet}}</ref>

=== Sonsuz seriler ===

zeta fonksiyonu pozitif tamsayilarda değerlendirildiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir.<ref>Unless otherwise noted, the formulas in this section are from  § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)</ref> Burada daha öte formüller  [[Harmonic number#Relation to the Riemann zeta function|harmonik sayılar]] yazısı içindedir
:<math>
1=\sum_{n=2}^{\infty}(\zeta(n)-1)
</math> &nbsp;ve aslında tek ve çift terimlerin iki toplamlarını da verir; &nbsp; <math>
\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(2n)-1)=\tfrac34
</math> &nbsp; ve &nbsp; <math>
\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(2n+1)-1)=\tfrac14.
</math>

:<math>
\log 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n}.
</math>

:<math>
1-\gamma=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n}
</math> &nbsp; burada γ [[Euler sabiti]]dir.

:<math>
\log \pi=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(2(\tfrac32)^n-3)(\zeta(n)-1)}{n}.
</math>

:<math>
\frac{\pi}{4}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n}\mathfrak{I}((1+i)^n-(1+i^n))
</math>  &nbsp; burada <math>\mathfrak{I}</math> &nbsp;bir [[karmaşık sayı]]nın [[sanal kısmı]]ni gösterilir.

Bazı zeta serileri daha karmaşık bağlantılarda değerlendirilir

:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{2^{2n}} = \frac16.
</math>

:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{4^{2n}} = \frac{13}{30}-\frac{\pi}{8}.
</math>

:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{8^{2n}} = \frac{61}{126}-\frac{\pi}{16}(\sqrt2+1).
</math>

:<math>
\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(4n)-1) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right).
</math>

==Ayrıca bakınız==
* [[Matematiksel fonksiyonların listesi]]
* [[Genel Riemann önermesi]]
* [[Riemann–Siegel teta işlevi]]
* [[Asal zeta işlevi]]

== Notlar ==
{{kaynakça}}

== Kaynakça ==
{{Kaynak başı}}
* 
* {{Kaynak|ad=Bernhard|soyadı=Riemann|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|başlık=Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse|yıl=1859|journal=Monatsberichte der Berliner Akademie}}. ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Yeniden basım: Dover, New York (1953)
* [[Jacques Hadamard]], ''Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Societé Mathématique de France '''14''' (1896) s. 199–220
* [[Helmut Hasse]], ''Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe'', (1930) Math. Z. '''32''' s. 458–464. ''(Globally convergent series expression.)''
* [[E. T. Whittaker]] & [[G. N. Watson]] (1927). ''A Course in Modern Analysis'', 4. basım, Cambridge University Press (Bölüm XIII)
* {{Kitap kaynağı|yazar=H. M. Edwards| başlık=Riemann's Zeta Function|yayımcı=Academic Press|yıl=1974|isbn=0-486-41740-9}}
* {{Kitap kaynağı|yazar=[[G. H. Hardy]]|başlık=Divergent Series|yayımcı=Clarendon Press, Oxford|yıl=1949}}
* {{Kitap kaynağı|yazar=A. Ivic|başlık=The Riemann Zeta Function|yayımcı=John Wiley & Sons|yıl=1985|isbn=0-471-80634-X}}
* {{Kitap kaynağı|yazar=A.A. Karatsuba |yardımcıyazarlar= S.M. Voronin|başlık=The Riemann Zeta-Function|yayımcı= W. de Gruyter, Berlin|yıl=1992}}
* {{Kitap kaynağı|yazar=Hugh L. Montgomery|yardımcıyazarlar=Robert C. Vaughan| başlık=Multiplicative number theory I. Classical theory| cilt=97| yayımcı=Cambridge University Press| yıl=2007| isbn=0-521-84903-9}} 10. Bölüm
* {{Kitap kaynağı| yazar=Donald J. Newman| başlık=Analytic number theory| cilt=177| yayımcı=Springer-Verlag| yıl=1998| isbn=0-387-98308-2}} 6. Bölüm
* {{Kitap kaynağı|yazar=E. C. Titchmarsh|başlık=The Theory of the Riemann Zeta Function|yayımcı=Oxford University Press|yıl= 1986}}
* {{Dergi kaynağı| yazar=[[Jonathan Borwein]], David M. Bradley, [[Richard Crandall]]| url = http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf|biçim=PDF| başlık = Computational Strategies for the Riemann Zeta Function| journal=J. Comp. App. Math.| yıl=2000| cilt=121| sayfalar=s. 11}}
* {{Dergi kaynağı| yazar=Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski| url = http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TYH-451NM96-2&_user=10&_coverDate=05%2F15%2F2002&_alid=509596586&_rdoc=17&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5619&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=76a759d8292edc715d10b1cb459992f1| başlık = Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments| journal=J. Comp. App. Math.| yıl=2002| cilt=142| sayfalar=s. 435–439| doi = 10.1016/S0377-0427(02)00358-8}}
* {{Dergi kaynağı| yazar=Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski| url = http://www.ams.org/proc/1997-125-09/S0002-9939-97-04102-6/home.html| başlık = Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms| journal=Proc. Amer. Math. Soc.| yıl=1997| cilt=125| sayfalar=s. 2543–2550| doi = 10.1090/S0002-9939-97-04102-6}}
* Jonathan Sondow, "[http://home.earthlink.net/~jsondow/id5.html Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series]", Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.
* {{Dergi kaynağı| yazar=Jianqiang Zhao| url = http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0002-9939-99-05398-8| başlık = Analytic continuation of multiple zeta functions| journal=Proc. Amer. Math. Soc.| yıl=1999| cilt=128| sayfalar=s.1275–1283}}
* Guo Raoh: "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function", ''Proceedings of the London Mathematical Society'' 1996; s. 3–72: 1–27
{{Kaynak sonu}}

== Dış bağlantılar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Wolfram Mathworld'de Riemann zeta işlevi]
* [http://dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables Seçili kökler tablosu]
* [http://www.mybloop.com/dmlpat/maths/zeros_dml.gz 1.000.000 kök içeren dosya]
* [http://seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php Çekiştirilen Asal Sayılar] Zeta işlevinin asal sayılar açısından önemine ilişkin genel bir değerlendirme
* [http://arxiv.org/abs/math/0309433v1 Zeta İşlevinin X-Işını] zetanın gerçel ve tümüyle karmaşık olduğu bölgelerin görsel sunumu
* [http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta/ Riemann zeta işlevi formül ve özdeşlikleri]
* [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_807.htm Riemann zeta işlevi ve ters üslerin diğer toplamları]

[[Kategori:Zeta ve L-fonksiyonları]]
[[Kategori:Meromorf fonksiyonlar]]
[[Kategori:Bernhard Riemann|Zeta işlevi]]