Ki-kare dağılımı sayfasının kaynağını görüntüle

{{Olasılık dağılımı|
  isim       =ki-kare|
  tip        =yoğunluk|
  pdf_image  =[[Dosya:chi-square distributionPDF.png|325px]]|
  cdf_image  =[[Dosya:chi-square distributionCDF.png|325px]]|
  parametreler =<math>k > 0\,</math> serbestlik derecesi|
  destek     =<math>x \in [0; +\infty)\,</math>|
  OYF        =<math>\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,</math>|
  YDF        =<math>\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,</math>|
  ortalama   =<math>k\,</math>|
  medyan     =yaklaşık olarak <math>k-2/3\,</math>|
  mod        =<math>k-2\,</math> eğer <math>k\geq 2\,</math>|
  varyans    =<math>2\,k\,</math>|
  çarpıklık  =<math>\sqrt{8/k}\,</math>|
  basıklık   =<math>12/k\,</math>|
  entropi    =<math>\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)</math>|
  mf         =<math>(1-2\,t)^{-k/2}</math> eğer <math>2\,t<1\,</math>|
  kf        =<math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,</math>
}}

[[Olasılık kuramı]] ve [[istatistik]] bilim dallarında '''ki-kare dağılım''' (x<sup>2</sup> dağılımı) özellikle [[çıkarımsal istatistik]] analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.

x, <math> \lambda </math> ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

<math> f(x)= \frac{1}{\lambda^n \Gamma(n)} x^{n-1}e^{-\frac{x}{\lambda}} \qquad , x>0 </math> olur.

Burada <math> \lambda = 2 </math> ve <math> n= \nu/2 </math> alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, <math> \nu </math> serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve <math> \Chi _\nu ^2 </math> ile gösterilir.

x, <math> \nu </math> serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:

ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir
<math> f(x)= \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma(\frac{\nu}{2})} x^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-x/2} \qquad ,x>0 </math> olur.

'''Teorem 1'''

<math> x\sim N(0,1) </math> ise <math> x^2 \sim \Chi _1^2 </math> olur.

'''Teorem 2'''

<math> x_1 , x_2 , \cdots , x_n </math> rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.

<math> y= \sum_{i=1}^n x_i^2 </math> ise <math> y \sim \Chi_n^2 </math> olur.

'''Teorem 3'''

<math> \sigma^2</math> varyansı bilinen, <math> N(\mu , \sigma^2) </math> dağılımına sahip rastgele örneklem <math> x_1, x_2, \cdots, x_n </math> ve <math> s^2</math> örneklem varyansı olmak üzere:<br />
<math> \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \Chi_{n-1}^2 </math> olur.

== Karakteristikleri ==

=== Olasılık yoğunluk fonksiyonu ===

Ki-kare dağılım için [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]] şu olur:

:<math>
f(x;k)=
\begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{eğer }x>0,\\
0&\text{eğer }x\le0,
\end{cases}
</math>

Burada <math>\Gamma</math> bir [[Gamma fonksiyonu]] bulunduğunu gösterir ve bu [[yarım-tamsayılar için özel değerler]] gösterir.

=== Yığmalı dağılım fonksiyonu ===
Ki-kare dağılımının [[yığmalı dağılım fonksiyonu]] şudur:

:<math>F(x;k)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2, x/2)</math>

burada <math>\gamma(k,z)</math>  [[tamamlanmamış Gamma fonksiyonu|aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu]] ve <math>P(k, z)</math> ise  [[tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu]] olur.

Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar [[spreadsheet]] ve [[istatistik program paketlerinde]] bulunmaktadır.

=== Karakteristik fonksiyonu ===
Ki-kare dağılımının [[karakteristik fonksiyon]]u şöyle yazılır:

:<math>\chi(t;k)=(1-2it)^{-k/2}.\,</math>

== Özellikleri ==
* Ki-kare dagilimi [[cikarimsal istatistik]] analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak [[varyans]] değeri guvenlik araligi ve hipotez testi, parametrik olamayan [[uygunluk iyiliği]] testi, olumsalik tablosu uzerinde bagimsizlik testi ve ki-kareye bağlı ortaklilik katsayilari, uzaklik olculeri  vb.
* [[Varyanslar analizi]]nde [[F-dagilimi]]nin iki ki-kare dagiliminin oranindan ortaya cikmasi dolayisyla onemli rol oynamaktadir. 
  
<!--
It enters the problem of estimating the mean of a normally distributed population and the problem of estimating the slope of a [[linear regression|regression]] line via its role in [[Student's t-distribution]].
-->
=== Normal yaklaşım ===

Eğer <math>X\sim\chi^2_k</math> ise, limitte <math>k</math> sonsuzluğa yaklaştıkca <math>X</math> normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık <math>\sqrt{8/k}</math> ve basıklık fazlalığı <math>12/k</math> olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:

Fisher ispat etmiştir ki <math>\sqrt{2X}</math> ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması <math>\sqrt{2k-1}</math> olan ve varyans değeri ''1'' olan bir normal dağılım gösterir.

Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılastırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken <math>z=\sqrt{X}</math>in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir: 
:<math>\mu_z= \sqrt{2}\frac{\Gamma\left(k/2+1/2\right)}{\Gamma\left(k/2 \right)}</math> 
ve
:<math>\sigma_z^2= k-\mu_z^2</math>

Burada <math>\Gamma(\cdot)</math> bir Gamma fonksiyonudur. <math>\mu_z </math> ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir <ref>http://www.umiacs.umd.edu/users/volkan/SSP07.pdf</ref>:
:<math>\frac{\Gamma\left(N+1/2\right)}{\Gamma\left(N
\right)}=\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}+
\frac{1}{128N^2}+\frac{5}{1024N^3}-\frac{21}{32768N^4}+\ldots\right).</math>
<math>N\gg 1</math> olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:
<math> \frac{\Gamma\left(N+1/2\right)}{\Gamma\left(N
\right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.
</math>

Sonra basitleşen moment karşılaştırılmasi sonuçları şu yaklaşık <math>z</math> dağılımı verirler; 
:<math> z\sim{\mathcal N}\left(\sqrt{k-1/2},\frac{1}{2}\right)</math>, 
Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:
:<math> \sqrt{2X}\sim{\mathcal N}\left(\sqrt{2k-1},1\right)</math>.

Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki <math>\sqrt[3]{X/k}</math> ifadesi, ortalaması <math>1-2/(9k)</math> ve varyansı <math>2/(9k)</math> olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.

<math>k</math> serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için [[beklenen değer]] <math>k</math> olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:
:<math>k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}.</math>

Eğer serbestlik derecesi 2 ise [[üstel dağılım]] ile aynı dağılımdır.

=== Enformasyon entropisi ===
[[Enformasyon entropisi]] ifadesi şöyle verilir:

:<math>
H
=
\int_{-\infty}^\infty f(x;k)\ln(f(x;k)) dx
=
\frac{k}{2}
+
\ln
 \left(
  2 \Gamma
  \left(
   \frac{k}{2}
  \right)
 \right)
+
\left(1 - \frac{k}{2}\right)
\psi(k/2).
</math>

Burada <math>\psi(x)</math> bir [[Digamma fonksiyonu]]dur.

== İlişkili dağılımlar ==

* [[Serbestlik derecesi]] ''2''ye eşit olan <math>X \sim \chi_2^2</math> için <math>X \sim \operatorname{Ustel}\left(\lambda =\tfrac{1}{2}\right)</math> bir [[üstel dağılım]] olur.
 <!-- Used to be 2; might be a typo. If one looks at the mgf the mistake is obvious. ~~~~icefox -->

* [[Normal dağılım]] gösteren ve birbirinden bağımsız olan <math>X_i \sim N(0,1)</math> değişkenleri için   <math>Y = \sum_{m=1}^k X_m^2</math>  ise, <math>Y \sim \chi_k^2</math> bir ki-kare dağılımı gösterir.
* Eğer  <math>X_i\sim N(\mu_i,1)</math> dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde <math>Y = \sum_{m=1}^k X_m^2</math> bir [[merkezsel olmayan ki-kare dağılım]]ndan çıkartılmıştır.
* <math>X \sim \operatorname{Gamma}\left(\tfrac{\nu}{2}, 2\right)</math> olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı <math>X \sim \chi^2_\nu</math> bir [[gamma dağılımı]]nın özel halidir.
* Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile <math>X_1 \sim \chi_{\nu_1}^2</math> ve <math>X_2 \sim \chi_{\nu_2}^2</math> birbirinden bağımsız iken <math>Y = \frac{X_1 / \nu_1}{X_2 / \nu_2}</math> ise, <math>Y \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)</math> bir [[F-dağılımı]] gösterir.
* <math>Y = \sum_{m=1}^N X_m</math>  ifadesi için <math>X_m \sim \chi^2(\nu_m)</math> değişkenleri bağımsız ve <math>\bar{\nu} = \sum_{m=1}^N \nu_m</math> ise, o halde <math>Y \sim \chi^2(\bar{\nu})</math> ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
* Eğer <math>X</math> ki-kare dağılımı gösterirse, o halde <math>\sqrt{X}</math> ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
* Özellikle, eğer <math>X \sim \chi_2^2</math> (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde <math>\sqrt{X}</math> ifadesi  [[Rayleigh dağılımı]] gösterir.
* Eğer <math>X_1, \dots, X_n</math> [[bağımsiz ama aynı dağılımlı]], yani hepsi <math>N(\mu,\sigma^2)</math> normal dağılım gösteren,  rassal değişkenlerse,  o halde  
:<math>\sum_{i=1}^n(X_i - \bar X)^2 \sim \sigma^2 \chi^2_{n-1}</math>
olur; burada <math>\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i</math> dir.
* Eğer <math>X \sim \operatorname{CarpikLogistik}\left(\tfrac{1}{2}\right)\,</math>, ise, o halde <math>\log (1 + e^{-X}) \sim  \chi_2^2\,</math> olur.

<center>
{| class="wikitable" align="center"
|+ '''Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları'''
|-
! İsim !! İstatistik
|-
| Ki-kare dağılımı || <math>\sum_{i=1}^k \frac{\left(X_i-\mu_i\right)^2}{\sigma_i^2}</math>
|-
| [[Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı]] || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[Ki dağılımı]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|-
| [[Merkezsel olmayan ki dağılımı]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|}
</center>

== Ki kare kritik değerler tablosu ==

''g'' serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki<sup>2</sup>  kritik değeri

 <nowiki>+-----+-----------------------------------------------------------------------+</nowiki>
 | \  α|                                                                       |
 |  \  | 0.995  0.91   0.925  0.95   0.90   0.10   0.05   0.025  0.01   0.005  |
 |g  \ |                                                                       |
 <nowiki>+-----+-----------------------------------------------------------------------+</nowiki>
 |  1  |  0.00   0.00   0.00   0.00   0.02   2.71   3.84   5.02   6.63   7.88  |
 |  2  |  0.01   0.02   0.05   0.10   0.21   4.61   5.99   7.38   9.21  10.60  |
 |  3  |  0.07   0.11   0.22   0.35   0.58   6.25   7.81   9.35  11.34  12.84  |
 |  4  |  0.21   0.30   0.48   0.71   1.06   7.78   9.49  11.14  13.28  14.86  |
 |  5  |  0.41   0.55   0.83   1.15   1.61   9.24  11.07  12.83  15.09  16.75  |
 |  6  |  0.68   0.87   1.24   1.64   2.20  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  |
 |  7  |  0.99   1.24   1.69   2.17   2.83  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  |
 |  8  |  1.34   1.65   2.18   2.73   3.49  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  |
 |  9  |  1.73   2.09   2.70   3.33   4.17  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  |
 | 10  |  2.16   2.56   3.25   3.94   4.87  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  |
 | 11  |  2.60   3.05   3.82   4.57   5.58  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  |
 | 12  |  3.07   3.57   4.40   5.23   6.30  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  |
 | 13  |  3.57   4.11   5.01   5.89   7.04  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  |
 | 14  |  4.07   4.66   5.63   6.57   7.79  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  |
 | 15  |  4.60   5.23   6.26   7.26   8.55  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  |
 | 16  |  5.14   5.81   6.91   7.96   9.31  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  |
 | 17  |  5.70   6.41   7.56   8.67  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  |
 | 18  |  6.26   7.01   8.23   9.39  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  |
 | 19  |  6.84   7.63   8.91  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  |
 | 20  |  7.43   8.26   9.59  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  |
 | 21  |  8.03   8.90  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  |
 | 22  |  8.64   9.54  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  |
 | 23  |  9.26  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  |
 | 24  |  9.89  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  |
 | 25  | 10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  |
 | 26  | 11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  |
 | 27  | 11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  |
 | 28  | 12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  |
 | 29  | 13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  |
 | 30  | 13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  |
 <nowiki>+-----+-----------------------------------------------------------------------+</nowiki>

Kaynak: Kritik değerler Italyanca Wikipedia için [[R (software)]] serbest programının qchisq( ,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.<ref>http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Variabile_casuale_chi_quadro</ref>

Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.  
: χ&sup2;<sub>α,g</sub> = 1/2 ( z<sub>α</sub> + √(2g-1) )&sup2; 
Burada z<sub>α</sub> Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z<sub>0,95</sub> = 1,645 olur.)

== Ayrıca bakınız ==

* [[Cochran'in teoremi]]
* [[Ters-ki-kare dağılımı]]
* [[Serbestlik derecesi (istatistik)]]
* [[İstatistiksel olarak bağımsız|Bağımsız]] [[sınama]]ları birleştirmek için [[Fisher'in yöntemi]] 
* [[Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı]]

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}

== Dış bağlantılar ==
* [http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/chigf.htm Ki-kare uyum-iyiliği sınaması ders notları]
[[Yale University]] Stats 101 kodlu ders için ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.
* [http://faculty.vassar.edu/lowry/tabs.html#csq Ki-kare kritik değerleri için On-line hesaplayıcı],  [[Vassar College]] Richard Lowry'nin istatistik web sitesinde.
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html Dağılımlar hesaplayıcısı] Normal, Student'in t, ki-kare ve F dağılımları için olasılıkları ve kritik değerleri hesaplar.
* [http://www.stat.sc.edu/~west/applets/chisqdemo.html Ki-kare kritik değerleri için Ki-kare hesaplayıcısı] South Carolina Universitesi'nde R.Webster West'in Java applet deposunda
* [http://graphpad.com/quickcalcs/chisquared2.cfm GraphPad tarafından hazırlanmış Ki-kare hesaplayıcısı]
* [http://www.medcalc.be/manual/chi-square-table.php  Ki-kare dağılımı için tablo]

{{Çok kullanılır tek değişirli olasılık dağılımları|Ki-kare dağılımı}}
{{Olasılık Dağılımları|Ki-kare dağılımı}}

<!--- İnterviki --->

{{DEFAULTSORT:Kikare Dagilimi}}
[[Kategori:Sürekli olasılık dağılımları]]