Hipergeometrik fonksiyon sayfasının kaynağını görüntüle

[[Özel fonksiyonlar]]ın önemli bir bölümünü oluşturan '''hipergeometrik fonksiyonlar''' [[Matematik]], [[Fizik]], [[Mühendislik]] ve [[Olasılık kuramı|Olasılık]] karşımıza çıkar.

== Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyonlar ==

<math>\alpha, \beta</math> ve <math>\gamma </math> [[Reel sayılar|reel]] ya da [[Karmaşık sayı|kompleks]] sabitler olmak üzere <math>
1+\frac{\alpha \beta }{\gamma }\frac{x}{1!}+\frac{\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}\frac{x^2}{2!}+...</math> olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir. Bu ifade <math>1+x+x^2+...</math> [[geometrik seri]]sinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır.

<math>\gamma</math> değeri sıfır ya da negatif bir tam sayı olmamalıdır. Hipergeometrik serisi <math>\left | x \right |< 1</math> için yakınsak, <math>\left | x \right |> 1</math> için [[Iraksak seri|ıraksak]]tır. <math>\left | x \right |= 1</math> olduğu zaman <math>\gamma> \alpha + \beta</math> ise seri mutlak yakınsaktır. <math>x=-1</math> iken <math>\gamma >\alpha + \beta -1</math> ise seri [[Yakınsak seri|yakınsak]]tır.

Hipergeometrik serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir. <math>_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(\beta)_n}{(\gamma)_n} \, \frac {x^n} {n!}</math> dir.

Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden <math>_2F_1</math> gösterimi yerine <math>F</math> Gösterimide kullanılır. Yani <math>F(\alpha,\beta;\gamma;x)=_2F_1(\alpha,\beta;\gamma;x)</math> olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu veya hipergeometrik fonksiyon olarak bilinir.

=== Genelleştirilmiş ifadesi ===
<math>\,{}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {x^n} {n!} </math> veya <math>{}_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;z)=\sum_{k=0}^\infty\prod_{i=1}^p\frac{\Gamma(k+a_i)}{\Gamma(a_i)}\prod_{j=1}^q\frac{\Gamma(b_j)}{\Gamma(k+b_j)}\frac{z^k}{k!};\quad p,q\in \mathbb{N}_0,</math> şeklindedir.

==Ayrıca bakınız==
* [[Matematiksel fonksiyonların listesi]]
* [[Hipergeometrik dağılım]]

== Kaynakça ==

[[Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları]]
[[Kategori:Hipergeometrik fonksiyonlar]]
[[Kategori:Adi diferansiyel denklemler]]
[[Kategori:Matematiksel seriler]]