Genelleştirilmiş ortalama sayfasının kaynağını görüntüle

Bir '''genelleştirilmiş ortalama''' [[Pisagorik ortalama]]larını, yani [[aritmetik ortalama]], [[geometrik ortalama]] ve [[harmonik ortalama]]yı, ayni tanım formülünde birleşetirip kapsayan bir abstre genelleştirmedir. '''Güç ortalaması''' veya '''Holder ortalaması''' adları da verilmektedir.

== Tanım ==

Eğer <math>p</math> sıfır olmayan bir pozitif [[reel sayı]] ise, '''<math>p</math> üslü genelleştirilmiş ortalama'''

:<math>
M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p}.
</math>

ifadesine uyan <math>x_1,\dots,x_n</math> pozitif reel sayılardır.

== Özellikler ==

<math>t</math> = 1 hali [[aritmetik ortalama]], <math>t</math> = - 1 [[harmonik ortalama]]sını ve ''t'' = 2 ise [[ortalama kare kökü]]nü ortaya çıkartır. ''t'' limitte 0a yaklaşırsa, M(''t''') için verilen sayılar için limit o sayıların [[geometrik ortalama]]sını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak ''tanımlamak'' uygun olur. Bunun yanında ''t'' ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(''t'') verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

* Birçok değişik [[ortalama]]lar gibi, genelleştirilmiş ortalama, <math>x_1,\dots,x_n</math> argumanlarının bir [[homojen fonksiyonu]]dur. Yani <math>b</math> pozitif bir reel sayı ise, <math>b\cdot x_1,\dots, b\cdot x_n</math> reel sayılarının <math>p</math> üslü genelleştirilmiş ortalaması <math>b</math> teriminin <math>x_1,\dots, x_n</math> sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
* [[Yarı-aritmetik ortalama]]lar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

:: <math>
M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
  M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}),
      M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),
      \dots,
      M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))
</math>

=== Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği ===

Genellikle, eğer <math>p < q</math> olursa, o halde <math>M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)</math> olur ve iki ortalama ancak ve ancak <math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math> ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

: <math>\forall p\in\mathbb{R}\ \frac{\partial M_p(x_1,\dots,x_n)}{\partial p}\geq 0,</math>

ve bu [[Jensen'in eşitsizliği]]ni kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle, <math>p\in\{-1, 0, 1\}</math> ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem [[Pisagorik ortalama]]ların eşitsizliğini hem de [[aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliği]]ni içermektedir.

== Özel haller ==

[[Dosya:RMS-AM-GM-HM.gif|thumb|sağ|n=2 için bazı uygulamalı hallerin vizüyel gösterimi'.]]

* <math>\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}</math> - [[minimum]],
* <math>M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}</math> - [[harmonik ortalama]],
* <math>\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}</math> - [[geometrik ortalama]],
* <math>M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}</math> - [[aritmetik ortalama]],
* <math>M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}</math> - [[kuadratik ortalama]],
* <math>\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}</math> - [[maksimum]].

== Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı ==

=== Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi ===

''p'' ve ''q'' endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>

O halde:
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}</math>
(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

:<math>\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}</math>

Böylece -''p'' ve -''q'' üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

=== Geometrik ortalama ===

Herhangi bir ''q'' değeri için, ''q'' üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>
:<math>\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} </math>

(Birinci eşitsizlik bir pozitif ''q'' için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından ''q'' üssü alınırsa 
:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>
olur. Her iki halde de <math>x_i^q</math> silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu [[Jensen'in eşitsizliği]] ve [[logaritmik]] fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

:<math>\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)</math>
:<math>\log(\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)</math>

(Kesinlikle azalan) [[exp]] fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i</math>

Böylece, herhangi bir pozitif ''q'' değeri için şu ifade önerilir:

:<math>\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]
{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>

Bu eşitsizlik herhangi bir ''q'' ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, ''q'' limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. ''q'' 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

:<math>\lim_{q\rightarrow 0}\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{q}}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}</math>

=== Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik ===

Burada herhangi bir ''p''<''q'' için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>

* Eğer ''p'' negatif ise ve ''q'' pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>

* Hem ''p'' pozitif hem de ''q'' pozitif ise ispat şöyle yapılır:
Önce şu fonksiyon tanımlanır:
: <math>f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+},</math> <math>f(x)=x^{\frac{q}{p}}</math>. 
Burada ''f'' bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:
: <math>f''(x) = \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{q}{p} - 1\right) x^{\frac{q}{p}-2},</math> 
Bu ''f'' sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü ''q'' > ''p'' olduğu için ''f'' konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:
:<math>f\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\leq\sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)</math>
:<math>\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>
Bunun her iki tarafının 1/''q'' üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>
Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

* Hem ''p'' negatif ve hem ''q'' negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -''p'' ve -''q'' konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

=== Minimum ve maksimum ===

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri 
:<math>-\infty</math> ve <math>+\infty</math>.
olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir ''q'' değeri için

:<math>\min (x_1,x_2,\ldots ,x_n)\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \max (x_1,x_2,\ldots ,x_n)</math>

Maksimum için ispat şöyle yapılır:
[[Genelliği kaybetmeden]] ''x<sub>i</sub>'' dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

:<math>\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq x_1</math>

Bu ifadenin iki tarafının da ''q'' üssü alınırsa, (''q''nun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

:<math>\sum_{i=1}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq}  x_1^q</math>
≤ eğer ''q''>0 , <span style="color: red">≥ eğer ''q''<0</span>.

Her iki taraftan <math>w_1x_1</math> çıkartılırsa, elde edilen ifade

:<math>\sum_{i=2}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq} (1-w_1)x_1^q</math>

olur. Bu <math>(1-w_1)</math> ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}x_i^q\leq {\color{red} \geq} x_1^q</math>

1 - ''w''<sub>1</sub> sıfır değildir, böylece

:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}=1</math>

İki taraftan ''x''<sub>1</sub><sup>''q''</sup> çıkartırsak ortaya çıkan ifade

:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}(x_i^q-x_1^q)\leq {\color{red} \geq} 0</math>

olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü ''x''<sub>1</sub> herhangi bir ''x<sub>i</sub>'' değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

:<math>x_i^q-x_1^q\leq {\color{red} \geq} 0</math>

Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak ''x''<sub>1</sub>, ''w''<sub>1</sub> yerine ''x''<sub>n</sub>, ''w''<sub>n</sub> kullanılır.

== Genelleştirilmiş <math>f</math>-ortalaması ==

'''Genelleştirilmiş ortalama''' (veya '''güç ortalaması''') daha da genelleştirilip [[genelleştirilmiş f-ortalaması]] formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

:<math> M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) </math>

Bu formüle göre ''güç ortalaması'' <math> f\left(x\right)=x^p </math> olarak elde edilir.

== Uygulamalar ==

=== Sinyal üretilmesi ===

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan [[hareketli ortalama]] hizmeti görür. Bu küçük <math>p</math> için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük <math>p</math> için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. [[Alçak geçişli|Hareketli aritmetik ortalaman]]ın etkin uygulaması (yani <tt>smooth</tt> uygulaması) gerçekse verilen şu [[Haskel program yazılım|Haskell]] koduna göre

  powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
  powerSmooth smooth p =
     map (** recip p) . smooth . map (**p)

* Bu büyük değerde <math>p</math> için [[rektifiye edilmiş]] sinyal üzerinde bir [[zarf detektör]]ü olarak hizmet görebilir.
* Bu küçük değerde <math>p</math> için [[kütle spektrumu]] üzerinde [[anahat (spektrometri)|anahat detektör]]ü olarak hizmet görebilir.

== Ayrıca bakınız ==

* [[Aritmetik ortalama]]
* [[Geometrik ortalama]]
* [[Harmonik ortalama]]
* [[Heronian ortalama]] 
* [[Pisagorik ortalama]]
* [[Ortalama]]
* [[Ortalama kare kökü]]

== Dış bağlantılar ==

* [http://mathworld.wolfram.com/PowerMean.html MathWorld'de güç ortalaması]
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/BasicMath/Average/Generalized%20mean.html Genelleştirilmiş ortalama için örnekler]
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=ProofOfGeneralMeans [[PlanetMath]] sitesinde genelleştilmiş ortalama hakkında eşitsizlik ispatı]
* [http://mipagina.cantv.net/arithmetic/rmdef.htm Rasyonel ortalama]
<!-- İnterviki -->

[[Kategori:Ortalama]]
[[Kategori:Pisogorik ortalama]]
[[Kategori:Eşitsizlik]]