Genelleştirilmiş f ortalaması sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]] ve [[istatistik]] bilim dallarında '''genelleştirilmiş f-ortalaması''' [[merkezsel konum ölçüleri]]nden olan değişik [[ortalama]]lar için tek bir genel fonksiyon ve formül bulma ve kullanma çabaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Benzer çabalar biraz değişik diğer bir [[genelleştirilmiş ortalama]] formülünü vermiştir.<ref>Bibby,J.(1974) "Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences," ''Glasgow Mathematical Journal, C. 15, say. 63–65</ref>. Bu nedenle isim karışıklığını önlemek için '''f-ortalaması''' çeşitli diğer isimlerde de anılmaktadır. Bazen '''yarı-aritmetik ortalama''' adı kullanılmaktadır. Bu kavramı ve formülü ilk geliştiren Rus matematikçisi [[A.Kolmogorov]] adına atfen de bazen '''Kolmogorov ortalaması''' olarak isimlendirilmektedir.<ref>Kolmogorov,A. (1930) ''Mathematics and mechanics'', Moskova say.136-138. (Rusça)</ref>

== Tanımlama ==

Eğer ''f'', reel doğrunun [[bağlanmış]] altseti olan <math>S</math>yi [[reel sayılar]]a tasarımlayan bir fonksiyon ise ve hem [[sürekli]] hem de [[enjektif]] ise, o halde şu iki sayı olan <math>\{x_1, x_2\} \subset S</math> için '''f-ortalaması''' şöyle tanımlanır:
:<math>M_f(x_1,x_2) = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+f(x_2)}2 \right).</math>

<math>n</math> büyüklükteki bir veri dizisi 
:<math>\{x_1, \dots, x_n\} \subset S</math>,
olur ve '''f-ortalaması''' 
:<math>M_f x = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n \right).</math>
ifadesi ile verilir.

[[Ters fonksiyon]] olan <math>f^{-1}</math> mevcut olması için ''f''nin enjektif olması gerekir. Fonksiyonun sürekli olması için 
:<math>\frac{f\left(x_1\right) + f\left(x_2\right)}2</math> 
ifadesinin <math>f^{-1}</math> sahasında bulunmalıdır. Böylece enjektif ve sürekli olması sağlanan ''f'' kesinlikle [[monotonik fonksiyon]] olur ve bunun için <math>x</math> içinde ne bu grubun içindeki en büyük sayıdan daha büyük ne de grubun en küçük sayısından daha küçük olabilir.

== Özellikler ==

* [[Bölüntülenme]]: f-ortalama hesaplanırken, veriler birbirine eşit alt-bloklara bölüntülenebilip genel sonuca etki yapmadan hesaplar ayrı ayrı alt-bloklara uygulanabilir:
:<math>
M_f(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
  M_f(M_f(x_1,\dots,x_{k}),
      M_f(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),
      \dots,
      M_f(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))
</math>

* Elemanların çarpma özelliği korunursa, genel f-ortalamayı etkilemeden her altset için ayrı ortalama önceden hesaplanabilir.
: <math>m=M_f(x_1,\dots,x_{k})</math> ile şu ifade gerçek olabilir
:<math>M_f(x_1,\dots,x_{k},x_{k+1},\dots,x_{n}) = M_f(\underbrace{m,\dots,m}_{k \mbox{ tane}},x_{k+1},\dots,x_{n})</math>

* Genelleştirilmiş f-ortalamasi <math>f</math> de kaymalar ve yeniden ölçeklenmelerden etkilenmez; yani 
:<math>\forall a\ \forall b\ne0 ((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t)) \Rightarrow \forall x\ M_f x = M_g x)</math>.

* Eğer <math>f</math> [[monotonik]] ise, o halde <math>M_f</math>de monotoniktir.

== İlişkiler ==

* Eğer <math>S</math> reel doğruya (yahut <math>a</math>nin sıfır olmadığı herhangi bir doğrusal fonksiyon <math>x\mapsto a\cdot x + b</math>a) tasarımlanırsa ve <math>f = \mathrm{id}</math>, ise ''f''-ortalaması [[aritmetik ortalama]] olur.
* Eğer <math>S</math> pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve <math>f =  \ln(x)</math>, ise ''f''-ortalaması [[geometrik ortalama]] olur. ''f''-ortalaması özelliklere uygun olarak bu sonuç eğer pozitif ise ve 1 değilse, dayandığı logaritma bazının ne olduğunun hiç önemi bulunmamaktadır.
* Eğer <math>S</math> pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve <math>f =  \frac{1}{x}</math>, ise ''f''-ortalaması [[harmonik ortalama]] olur.
* Eğer <math>S</math> pozitif reel sayılar setine tasarımlanırsa ve <math>f = x^p</math>, ise ''f''-ortalaması <math>p</math> üslü [[güç ortalaması]] olur.

== Homojenlik ==

[[Ortalama]] için kullançılan fonksiyonlar ok kere [[homojen]]dirler. Ancak ''f-ortalaması'' için <math>f</math> fonksiyonlarının çoğu homojen değildir. Homojenlik özelliği girdi veri değerlerini özel bir homojen ortalama <math>C</math> ile normalize ederek yani 
:<math>M_{f,C} x = C x \cdot f^{-1}\left( \frac{f\left(\frac{x_1}{C x}\right) + \dots + f\left(\frac{x_n}{C x}\right)}{n} \right)</math>
sağlanabilir. Ancak bu değişme bazı ''f''-ortalamaları için [[monoton]]luk ve [[bölüntülenme]] özelliklerin ortadan kaldırabilir.
 
== İçsel kaynaklar ==
* [[Ortalama]]
* [[Genelleştirilmiş ortalama]]
* [[Jensen'in eşitsizliği]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

[[Kategori:Ortalama]]