Baker-Campbell-Hausdorff formülü sayfasının kaynağını görüntüle

{{Düzenle|Ekim 2018}}
[[Matematik]]te, '''Baker–Campbell–Hausdorff formulü''' [[değişmeli olmayan]] {{Matematik|''X''}} ve {{Matematik|''Y''}} için.
::: {{Matematik|''Z'' {{=}} log(e<sup>''X''</sup> e<sup>''Y''</sup>)}} ya çözümdür
Bu formül [[Lie cebiri]]ne bağlantılı [[Lie grupları|Lie grup]]ları geleneksel koordinatlar içinde bir Lie cebiri ögeleri olarak iki Lie grup ögelerinin çarpımının [[logaritma]]  ifadesi ile ,bir takdir anlamlı rehberlik bağlantısıdır(Hausdorff 1906)<ref name="hausdorff">[[Felix Hausdorff|F. Hausdorff]], "Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie", ''Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig'' '''58''' (1906) 19–48.</ref>  teorinin tam gelişmesi öncesidir .

Bu [[Henry Frederick Baker]]  [[John Edward Campbell]], ve [[Felix Hausdorff]] adınadır. Campbell ile ilk notlarının içinde yazılı idi [[Henri Poincaré]] tarafından ayrıntılandırılmıştır (1899) ve Baker (1902)tarafından geometriksel olarak sistematize edildi ve  Hausdorff (1906) ile [[Jacobi özdeşliği]]ne bağlandı.<ref name="hausdorff"/>

== Baker–Campbell–Hausdorff formulü ==
Baker–Campbell–Hausdorff formulü ifadesi eğer ''X'' ve ''Y'' bazı <math>\mathfrak g </math>  [[Lie cebiri]] içinde [[karakteristik 0]]'ın herhangi bir alanı üzerinde tanımlanır, ise

:: {{Matematik| log(exp(''X'') exp(''Y''))}},

<math>\mathfrak g</math> 'nin resmi bir sonsuz toplamı olarak yazılabilir. Birçok uygulamalar, birinin bu sonsuz toplamı için açık bir ifade gerekiyor, ama sadece onun varlığından güvencesi, ve aşağıdaki gibi görülebilir değildir.halka

::{{Matematik|''S'' {{=}} '''R'''<nowiki>[[</nowiki>''X'',''Y''<nowiki>]]</nowiki>}}

tüm [[değişmeli-olmayan resmi kuvvet serisi]]nin ''X'' ve ''Y'' değişmeli-olmayan değişkenleri içinde  bir halka homomorfizmi Δ  ''S ''den

::{{Matematik|''S''&otimes;''S''}}'in tamamlanmasına ,

eşçarpım denir, böylece

::{{Matematik|&Delta;(''X'') {{=}} ''X''&otimes;1 + 1&otimes;''X''}}

ve ''Y'' için aynıdır . (Eşçarpımı tanımı kural {{Matematik|Δ(''XY'') {{=}} Δ(''X'')Δ(''Y'') }})tarafından yinelemeli uzatıldı).Bu, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
== Bir açık Baker–Campbell–Hausdorff formulü ==
özel olarak, diyelimki ''G'' bir [[basit-bağlantılı]] [[Lie grubu]] ile [[Lie cebri]] <math>\mathfrak g</math>'dir. Diyelimki

:::<math>\exp : \mathfrak g\rightarrow  G </math>

[[üstel gönderme]] olsun.Aşağıda genel kombinatorik formülü [[Eugene Dynkin]] (1947)tarafından tanıtıldı:<ref name="dynkin">{{Dergi kaynağı| soyadı=Dynkin |ad=Eugene Borisovich |authorlink=Eugene Dynkin |yıl=1947 |dil=Rusça |başlık=Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff |trans_title=Calculation of the coefficients in the Campbell–Hausdorff formula | journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]] |cilt=57 |sayfalar=323–326}}</ref>

: <math>\log(\exp X\exp Y) =
\sum_{n>0}\frac {(-1)^{n-1}}{n}
\sum_{ \begin{smallmatrix} {r_i + s_i > 0} \\ {1\le i \le n} \end{smallmatrix}}
\frac{(\sum_{i=1}^n (r_i+s_i))^{-1}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!}
[ X^{r_1} Y^{s_1} X^{r_2} Y^{s_2} \ldots X^{r_n} Y^{s_n} ],
</math>

Burada <math>s_n</math> ve <math>r_n</math> negatif-olmayan tam sayı, ve aşağıdaki gösterim kulanılıyor:

: <math> [ X^{r_1} Y^{s_1} \ldots X^{r_n} Y^{s_n} ] = [ \underbrace{X,[X,\ldots[X}_{r_1} ,[ \underbrace{Y,[Y,\ldots[Y}_{s_1} ,\,\ldots\, [ \underbrace{X,[X,\ldots[X}_{r_n} ,[ \underbrace{Y,[Y,\ldots Y}_{s_n} ]]\ldots]].</math>

Bu terim sıfır ise <math>s_n > 1</math> veya eğer <math>s_n = 0</math> ve <math>r_n > 1</math>.<ref>A.A. Sagle & R.E. Walde, "Introduction to Lie Groups and Lie Algebras", Academic Press, New York, 1973. ISBN 0-12-614550-4.</ref>

ilk birkaç terimler iyi-biliniyor,  tüm yüksek-dereceli terimler  [''X'',''Y''] içerir ve  [[komutatör]] yerleştirmelerin  (böylece [[Lie cebri]] içinde):

 <math>\begin{align}
Z(X,Y)&{}=\log(\exp X\exp Y) \\
&{}= X + Y + \frac{1}{2}[X,Y] +
\frac{1}{12}[X,[X,Y]] - \frac{1}{12}[Y,[X,Y]] \\
&{}\quad
- \frac {1}{24}[Y,[X,[X,Y]]]  \\
&{}\quad
- \frac{1}{720}([[[[X,Y],Y],Y],Y] +[[[[Y,X],X],X],X])
\\
&{}\quad +\frac{1}{360}([[[[X,Y],Y],Y],X]+[[[[Y,X],X],X],Y])\\
&{}\quad
+ \frac{1}{120}([[[[Y,X],Y],X],Y] +[[[[X,Y],X],Y],X])
+ \cdots
\end{align}</math>

Unutmadan ''X'' ↔ ''Y'' (anti-)/açılımın alterne dereceleri içinde simetriden, dolayı {{Matematik|''Z''(''Y'',&nbsp;''X'')&nbsp;{{=}}&nbsp;&minus;''Z''(&minus;''X'',&minus;''Y'')}}.

=== Seçilmiş izlenebilir durumlar ===
Burada [[closed-form solution|kapalı form]] içinde keyfi bir Lie cebiri, istisnai durumlar izlenebilir olmasına rağmen, bu gibi uygulamalarda genişleme dışarı çalışmak için verimli algoritmalardır.

Örneğin, Eğer {{Matematik|[''X'',''Y'']}} yokolursa, yukardaki formul {{Matematik|''X''+''Y''}}'ye indirgenir. Eğer komutatör {{Matematik|[''X'',''Y'']}} bir skaler ([[Center (algebra)|merkez]],bkz  [[Nilpotent group|nilpotent]] [[Heisenberg grup]]), ise ''neredeyse  ilk üç terimler sağ taraf üzerinde  yukarda kaybolur''.  Bu bozunmuş durum [[kuantum mekanik]]te rutin kullanılıyor, aşağıda gösterilmiştir.

Campbell–Baker–Hausdorff formulünün diğer formları, {{Matematik|Y}} ögelerinin terimleri içinde açılım vurgulanıyor (ve doğrusal [[eş endomorfizma]] gösterimi kullanılıyor, {{Matematik|ad<sub>''X''</sub> ''Y'' ≡ [''X'',''Y'']}}), iyi bir sunum:

:<math>\log(\exp X\exp Y) = X + \frac{\text{ad} _X ~ e^{\operatorname{ad} _X}}{e^{\operatorname{ad} _X}-1} ~ Y + O(Y^2),</math>

Aşağıdaki integral formülde  anlaşılacağı gibi. (İç içe komütatörlerinin katsayıları {{Matematik|Y}} doğrusal normalize Bernoulli sayılarıdır, aşağıda ana hatları var.)

Böylece, bazı sıfır-hariç ''s'' için eğer komutatör {{Matematik|[''X'',''Y'']{{=}}''sY''}} olursa ,bu  formul  sadece {{Matematik|''Z''&nbsp;{{=}}&nbsp;''X''&nbsp;+&nbsp;''sY''&nbsp;/&nbsp;(1&nbsp;&minus;&nbsp;exp(&minus;''s''))}} ye indirgenir, bu o zaman özdeş örgü özdeşlikliğine yolaçar,şöyle ki 
:<math>e^{X} e^{Y} = e^{\exp (s) ~Y} e^{X}~,</math>
veya eş genişlik,
:<math>e^{X} e^{Y} e^{-X} = e^{\exp (s) ~Y} ~.</math>

Burada fizik rutin uygulamalarında iyi bilinen sayıların bu bağlantılarıdır.<ref name="magnus">{{Dergi kaynağı 
| last1 = Magnus | first1 = W. | title = On the exponential solution of differential equations for a linear operator 
| doi = 10.1002/cpa.3160070404 | authorlink= Wilhelm Magnus
| journal = Communications on Pure and Applied Mathematics 
| volume = 7 | issue = 4 | pages = 649–673| year = 1954}}</ref> yaygın bir integral formülü<ref name="miller">W. Miller, ''Symmetry Groups and their Applications'',  [[Academic Press]], New York, 1972, pp 159–161. ISBN 0-12-497460-0</ref> dür

:<math>\log(\exp X\exp Y) =   X + \left ( \int^1_0 \psi \left ( e^{\operatorname{ad} _X} ~ e^{t \,\text{ad} _ Y}\right ) \, dt \right) \, Y, </math>

[[Bernoulli number#Generating function|Bernoulli sayıları için üreteç fonksiyonu]]nu içerir,
:<math> \psi(x) \equiv \frac{x \log x}{x-1}= 1- \sum^\infty_{n=1}
{(1-x)^n \over n (n+1)}  ~, </math>
Poincaré ve Hausdorff tarafından kullanılan.  hatırlatma
:<math>\psi(e^y)=\sum_{n=0}^\infty B_n ~ y^n/n! </math> ,
Bernoulli sayıları için, ''B''<sub>0</sub> = 1, ''B''<sub>1</sub> = 1/2, ''B''<sub>2</sub> = 1/6, 
''B''<sub>4</sub> = &minus;1/30,  ...

=== Lie grup matris gösterimleri ===
bir matris Lie grup <math>G \sub \mbox{GL}(n,\mathbb{R})</math> için Lie cebiri ''I'''nın özdeş tanjant uzayıdır, ve  komutatör basitçe [''X'',&nbsp;''Y''] = ''XY''&nbsp;&minus;&nbsp;''YX''; üstel gönderme  [[matrix exponential|matrislerin standart üstel haritası]]dır,

:<math>\exp X = e^X = \sum_{n=0}^\infty {\frac{X^n}{n!}}.</math>

''Z'' için bir çözümü

:<math>e^Z = e^X e^Y,\,\!</math>

Bir basit bir formul elde eder:
:<math> Z =
\sum_{n>0}
\frac{(-1)^{n-1}}{n}
\sum_{\begin{smallmatrix} r_i+s_i>0\,
                     \\ 1\le i\le n\end{smallmatrix}}
\frac{X^{r_1}Y^{s_1}\cdots X^{r_n}Y^{s_n}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!}.</math>
Birinci, ikinci, üçüncü, ve dördünci sıralı terimlerdir:

*<math>z_1 = X + Y\,\!</math>
*<math>z_2 = \frac{1}{2} (XY - YX)</math>
*<math>z_3 = \frac{1}{12} (X^2Y + XY^2 - 2XYX + Y^2X + YX^2 - 2YXY)</math>
*<math>z_4 = \frac{1}{24} (X^2Y^2 - 2XYXY - Y^2X^2 + 2YXYX).</math>

== Ayrıca bakınız ==
{{Div sütunu}}
* [[Magnus açılımı]]
* [[Stone–von Neumann teoremi]]
* [[bir matrisin logaritması]]
* [[Matris üsteli]]
* [[Golden–Thompson eşitizliği]]
* [[Lie çarpım formulü]]  (Trotter çarpım formulü)
{{Div sütunu bitiş}}

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}
*{{springer|id=C/c020090|title=Campbell–Hausdorff formula|author=Yu.A. Bakhturin}}
*L. Corwin & F.P Greenleaf,  ''Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples'', [[Cambridge University Press]], New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
*Brian C. Hall, ''Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction'', Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
*W. Rossmann, ''Lie Groups: An Introduction through Linear Groups''. Oxford University Press, 2002.
*[[Jean-Pierre Serre|J.-P. Serre]], ''Lie algebras and Lie groups'', Benjamin,  1965.

== Dış bağlantılar ==
*[[Cosmas Zachos|C.K. Zachos]], [http://www.hep.anl.gov/czachos/CBH.pdf  Crib Notes on CBH expansions]
*[http://mathworld.wolfram.com/Baker-Campbell-HausdorffSeries.html MathWorld page]

{{DEFAULTSORT:Baker-Campbell-Hausdorff Formula}}
[[Kategori:Lie grupları]]
[[Kategori:Matematiksel fizik]]
[[Kategori:Kombinatorik]]